Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(MN\parallel\alpha\).
2. \(MN\parallel\alpha\).
3. \(BC=\dfrac{25}{3}=8\dfrac13\) см.

Главный приём в задачах 1 и 2: если прямая \(l\) не лежит в плоскости \(\alpha\), но параллельна какой-то прямой \(m\subset\alpha\), то \(l\parallel\alpha\).

Задача 1

\(M\) — середина \(AC\), \(N\) — середина \(CB\). Значит, \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \[ MN\parallel AB. \] По условию \(AB\subset\alpha\). Точки \(M\) и \(N\) не лежат в \(\alpha\), так как \(C\notin\alpha\), а прямые \(AC\) и \(CB\) пересекают \(\alpha\) только в точках \(A\) и \(B\). Значит, \(MN\not\subset\alpha\).

Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости \[ MN\parallel\alpha. \]

Задача 2

\(M\) — середина \(AD\), \(N\) — середина \(CB\). В трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон, параллелен основаниям: \[ MN\parallel AB\parallel CD. \] По условию \(AB\subset\alpha\).

При этом \(MN\not\subset\alpha\): если бы \(C\in\alpha\), то прямая через \(C\), параллельная \(AB\), лежала бы в \(\alpha\). Но это прямая \(CD\), тогда \(CD\subset\alpha\), что противоречит условию. Значит, \(C\notin\alpha\), поэтому \(N\notin\alpha\), и \(MN\) не лежит в \(\alpha\).

Так как \(MN\parallel AB\) и \(AB\subset\alpha\), получаем \[ MN\parallel\alpha. \]

Задача 3

Плоскость \(\alpha\) проходит через \(B\) и \(C\), значит, содержит прямую \(BC\). Плоскость треугольника \(ABC\) пересекается с \(\alpha\) по прямой \(BC\). Так как \(DE\subset(ABC)\) и \(DE\parallel\alpha\), то \[ DE\parallel BC. \] Тогда треугольники \(ADE\) и \(ABC\) подобны: \[ \triangle ADE\sim\triangle ABC. \] Значит, \[ \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}. \]

По записи из «Дано» \[ BD:DA=2:3. \] Пусть \(BD=2x\), \(DA=3x\). Тогда \[ AB=AD+DB=3x+2x=5x, \] поэтому \[ \frac{AD}{AB}=\frac{3x}{5x}=\frac35. \] Подставляем \(DE=5\) см: \[ \frac{5}{BC}=\frac35. \] Отсюда \[ BC=\frac{5\cdot5}{3}=\frac{25}{3}=8\frac13\text{ см}. \]

Проверка: \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{5}{25/3}=\dfrac35=\dfrac{AD}{AB}\). Всё сходится.