Реши задание на изображении
На фото два варианта; правый виден полностью — решаю вариант 2.
Краткие ответы
- а) \(2a^{1/8}=2\sqrt[8]{a}\); б) \(4a^2\)
- а) \(\frac{200}{7}=28\frac47\); б) \(3+\frac{\sqrt7}{2}\)
- а) \(x^{-1/35}\); б) \(x^{28/5}\)
- \(-\dfrac{(a-2)^2}{a(a-4)}\)
- \(x=27\)
- \(-\sqrt[3]{4}\)
Решение и объяснение
№1. Упростить
Основное правило:
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}. \]
а)
\[ \sqrt[4]{\sqrt a}=(a^{1/2})^{1/4}=a^{1/8}, \qquad \sqrt[24]{a^3}=a^{3/24}=a^{1/8}. \]
Значит,
\[ \sqrt[4]{\sqrt a}+\sqrt[24]{a^3} =a^{1/8}+a^{1/8}=2a^{1/8}=2\sqrt[8]{a}. \]
б)
\[ (8a)^{2/3}:a^{-4/3} =8^{2/3}\cdot a^{2/3}\cdot a^{4/3}. \]
Так как \(8=2^3\), то
\[ 8^{2/3}=(2^3)^{2/3}=2^2=4. \]
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
\[ a^{2/3}\cdot a^{4/3}=a^2. \]
Ответ: \(\boxed{4a^2}\).
№2. Вычислить
а)
\[ 125^{2/3}:\left(1\frac{15}{49}\right)^{-1/2}. \]
\[ 125=5^3,\qquad 125^{2/3}=5^2=25. \]
\[ 1\frac{15}{49}=\frac{64}{49}. \]
Тогда
\[ \left(\frac{64}{49}\right)^{-1/2} =\left(\frac{49}{64}\right)^{1/2} =\frac{7}{8}. \]
Получаем:
\[ 25:\frac78=25\cdot\frac87=\frac{200}{7}. \]
Ответ: \(\boxed{\frac{200}{7}}\).
б)
\[ \sqrt{\frac14-\sqrt[3]{-3\frac38}}+\sqrt[4]{81}. \]
Сначала:
\[ -3\frac38=-\frac{27}{8}, \qquad \sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac32. \]
Тогда под первым корнем:
\[ \frac14-\left(-\frac32\right) =\frac14+\frac32 =\frac14+\frac64 =\frac74. \]
\[ \sqrt{\frac74}=\frac{\sqrt7}{2}, \qquad \sqrt[4]{81}=3. \]
Ответ:
\[ \boxed{3+\frac{\sqrt7}{2}}. \]
№3. Представить в виде степени \(x\)
Используем \(x^m\cdot x^n=x^{m+n}\).
а)
\[ x^{-3/7}\cdot\sqrt[5]{x^2} =x^{-3/7}\cdot x^{2/5}. \]
Складываем показатели:
\[ -\frac37+\frac25 =\frac{-15+14}{35} =-\frac1{35}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x^{-1/35}}. \]
б)
Действуем изнутри:
\[ \sqrt[5]{x}=x^{1/5}, \]
\[ x^3\cdot x^{1/5}=x^{3+\frac15}=x^{16/5}, \]
\[ \sqrt{x^{16/5}}=x^{8/5}. \]
Осталось умножить на \(x^4\):
\[ x^4\cdot x^{8/5}=x^{4+\frac85}=x^{28/5}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x^{28/5}}. \]
№4. Упростить выражение
\[ \left(a^{3/2}-2a^{1/2}\right)^2: \left(-a^2(a-4)\right). \]
Вынесем общий множитель:
\[ a^{3/2}-2a^{1/2} =a^{1/2}(a-2). \]
Возводим в квадрат:
\[ \left(a^{1/2}(a-2)\right)^2 =a(a-2)^2. \]
Делим:
\[ \frac{a(a-2)^2}{-a^2(a-4)} =-\frac{(a-2)^2}{a(a-4)}. \]
Ответ:
\[ \boxed{-\frac{(a-2)^2}{a(a-4)}}. \]
Можно также записать:
\[ \boxed{\frac{(a-2)^2}{a(4-a)}}. \]
№5. Решить уравнение
\[ \sqrt[4]{9x^2}-2\sqrt[4]{3x}=3. \]
Так как есть корень \(\sqrt[4]{3x}\), нужно \(x\ge0\).
Введём замену:
\[ t=\sqrt[4]{3x},\qquad t\ge0. \]
Тогда
\[ t^2=\sqrt{3x}. \]
А первый корень при \(x\ge0\) равен:
\[ \sqrt[4]{9x^2} =\sqrt[4]{(3x)^2} =\sqrt{3x} =t^2. \]
Уравнение принимает вид:
\[ t^2-2t=3, \]
\[ t^2-2t-3=0, \]
\[ (t-3)(t+1)=0. \]
Значит, \(t=3\) или \(t=-1\). Но \(t\ge0\), поэтому \(t=-1\) не подходит.
\[ \sqrt[4]{3x}=3. \]
Возводим в четвёртую степень:
\[ 3x=3^4=81, \]
\[ x=27. \]
Проверка:
\[ \sqrt[4]{9\cdot27^2}-2\sqrt[4]{3\cdot27} =9-2\cdot3=3. \]
Ответ: \(\boxed{x=27}\).
№6. Дополнительное задание
\[ \sqrt[3]{1-\sqrt5}\cdot\sqrt[6]{6+2\sqrt5}. \]
Заметим:
\[ 6+2\sqrt5=(1+\sqrt5)^2. \]
Тогда
\[ \sqrt[6]{6+2\sqrt5} =\sqrt[6]{(1+\sqrt5)^2} =\sqrt[3]{1+\sqrt5}. \]
Получаем:
\[ \sqrt[3]{1-\sqrt5}\cdot\sqrt[3]{1+\sqrt5} =\sqrt[3]{(1-\sqrt5)(1+\sqrt5)}. \]
По формуле разности квадратов:
\[ (1-\sqrt5)(1+\sqrt5)=1-5=-4. \]
Значит,
\[ \sqrt[3]{-4}=-\sqrt[3]{4}. \]
Ответ: \(\boxed{-\sqrt[3]{4}}\).
