Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(MN\parallel \alpha\).
2. \(MN\parallel \alpha\).
3. \(BC=\dfrac{25}{3}\) см \(=8\dfrac13\) см.

Задача 1

Дано: \(AM=MC\), \(CN=NB\). Значит, \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AC\) и \(CB\), поэтому \(MN\) — средняя линия \(\triangle ABC\).

Следовательно, \[ MN\parallel AB. \] При этом \(AB\subset \alpha\). Нужно ещё показать, что \(MN\) не лежит в \(\alpha\). Если бы \(M\in\alpha\), то из \(A\in\alpha\) и \(M\in\alpha\) следовало бы, что вся прямая \(AC\) лежит в \(\alpha\), то есть \(C\in\alpha\). Но дано \(C\notin\alpha\). Значит, \(MN\not\subset\alpha\).

По признаку параллельности прямой и плоскости: \[ MN\parallel \alpha. \]

Задача 2

По рисунку основания трапеции — \(AB\) и \(CD\), то есть \(AB\parallel CD\). Точки \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AD\) и \(CB\), значит, \(MN\) — средняя линия трапеции: \[ MN\parallel AB. \] Дано \(AB\subset\alpha\).

Покажем, что \(MN\) не лежит в \(\alpha\). Если бы \(M\in\alpha\), то из \(A\in\alpha\) следовало бы \(D\in\alpha\). Тогда прямая через \(D\), параллельная \(AB\), то есть \(CD\), лежала бы в \(\alpha\), а это противоречит \(CD\not\subset\alpha\). Значит, \(M\notin\alpha\), поэтому \(MN\not\subset\alpha\).

Следовательно, по признаку: \[ MN\parallel\alpha. \]

Задача 3

Плоскость \(\alpha\) проходит через \(BC\) и параллельна \(DE\). Прямые \(DE\) и \(BC\) лежат в одной плоскости — плоскости треугольника \(ABC\). Если бы они пересекались, точка пересечения принадлежала бы и \(DE\), и \(\alpha\), что невозможно из-за \(DE\parallel\alpha\). Значит, \[ DE\parallel BC. \]

Тогда треугольники \(ADE\) и \(ABC\) подобны: \[ \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}. \]

Из условия \[ \frac{BD}{DA}=\frac23. \] Пусть \(DA=3x\), \(BD=2x\), тогда \[ AB=5x,\qquad \frac{AD}{AB}=\frac{3x}{5x}=\frac35. \]

Получаем: \[ \frac{5}{BC}=\frac35, \] \[ BC=\frac{5\cdot 5}{3}=\frac{25}{3}=8\frac13\text{ см}. \]

Проверка: \(\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{5}{25/3}=\dfrac35\), что совпадает с \(\dfrac{AD}{AB}\).

Ответ: \(BC=8\dfrac13\) см.