Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\; x_2=3\]

Как к этому прийти

Шаг 1. Вспомним, как раскладывается произведение скобок. Если перемножить \((x-a)(x-b)\), получится:

\[(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab\]

Шаг 2. Сравним с нашим уравнением. У нас \(x^2-5x+6\). Значит, нужны два числа \(a\) и \(b\), у которых:

• сумма \(a+b=5\) (потому что перед \(x\) стоит \(-5\));
• произведение \(a\cdot b=6\) (свободный член).

Шаг 3. Подберём такие числа. Произведение 6 дают пары: \(1\cdot6\) и \(2\cdot3\). Проверяем сумму: \(1+6=7\) — не подходит, а \(2+3=5\) — подходит. Значит, \(a=2\), \(b=3\).

Шаг 4. Запишем через произведение.

\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0\]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[x-2=0 \Rightarrow x=2; \qquad x-3=0 \Rightarrow x=3.\]

Проверка

• \(x=2\): \(\;2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0\) ✔
• \(x=3\): \(\;3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0\) ✔

Принцип, который стоит запомнить

Если уравнение имеет вид \(x^2-px+q=0\) (перед \(x^2\) стоит 1), то его корни — это два числа, у которых сумма равна \(p\), а произведение равно \(q\). Так можно быстро решать похожие уравнения подбором, не прибегая к длинным формулам.