Вычислить
Краткий ответ:
\[
\boxed{\frac{1}{16}}
\]
Ход решения
Исходное выражение: \[ \frac{2^3\cdot \sqrt[5]{16}\cdot 8^0}{4^4\cdot 2^{-1/5}} \]
Приведём всё к основанию \(2\):
\[ 8^0=1 \]
\[ \sqrt[5]{16}=16^{1/5}=(2^4)^{1/5}=2^{4/5} \]
\[ 4^4=(2^2)^4=2^8 \]
Тогда:
\[ \frac{2^3\cdot 2^{4/5}\cdot 1}{2^8\cdot 2^{-1/5}} = \frac{2^{3+4/5}}{2^{8-1/5}} \]
Считаем показатели:
\[ 3+\frac45=\frac{15}{5}+\frac45=\frac{19}{5} \]
\[ 8-\frac15=\frac{40}{5}-\frac15=\frac{39}{5} \]
Получаем:
\[ \frac{2^{19/5}}{2^{39/5}} = 2^{\frac{19}{5}-\frac{39}{5}} = 2^{-\frac{20}{5}} = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16} \]
Принцип:
- корень \(\sqrt[n]{a^m}\) записывается как \(a^{m/n}\);
- при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются;
- при делении — вычитаются;
- \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).
Обсуждение
6 сообщенийНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Ты, скорее всего, смотришь на вторую запись на доске. В первом задании — с дробью — никакого \(x\) нет. Там на втором этапе просто переходят к степеням с основанием \(2\):
\[ \sqrt[5]{16}=2^{4/5},\qquad 4^4=2^8. \]
А ниже на доске записано отдельное задание:
\[ \text{Известно, что } 8^x=5,\quad \text{найти } 8^{-x}. \]
Вот откуда \(x\): он стоит в показателе степени в условии. Это не умножение \(8\cdot x\), а «8 в степени \(x\)».
Решается так:
\[ 8^{-x}=\frac{1}{8^x}. \]
По условию \(8^x=5\), значит:
\[ 8^{-x}=\frac{1}{5}=0{,}2. \]
То есть \(x\) отдельно находить не нужно — достаточно знать, что \(8^x=5\).
Это продолжение той же темы — свойства степеней. На доске два задания.
1. Упростить выражение
\[ \left(a^{\sqrt3+1}\right)^{\sqrt3}\cdot \frac{1}{a^{\sqrt3}} \]
Используем свойства степеней:
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn},\qquad \frac{1}{a^n}=a^{-n} \]
Тогда:
\[ \left(a^{\sqrt3+1}\right)^{\sqrt3} =a^{(\sqrt3+1)\sqrt3} =a^{3+\sqrt3} \]
\[ \frac{1}{a^{\sqrt3}}=a^{-\sqrt3} \]
Получаем:
\[ a^{3+\sqrt3}\cdot a^{-\sqrt3} =a^{3+\sqrt3-\sqrt3} =a^3 \]
Ответ:
\[
\boxed{a^3}
\]
(для \(a>0\)).
2. Сравнить числа
\[ \left(\frac27\right)^{3/7} \quad \text{и} \quad \left(\frac27\right)^{5/7} \]
Основание:
\[ 0<\frac27<1 \]
Если основание меньше \(1\), то функция \(y=\left(\frac27\right)^x\) убывает: чем больше показатель степени, тем меньше значение.
Так как:
\[ \frac37<\frac57 \]
то:
\[ \boxed{\left(\frac27\right)^{3/7}>\left(\frac27\right)^{5/7}} \]
То есть первое число больше второго.
Это продолжение текущей темы — степени с рациональными показателями. Пункт \(5\) про периодическую дробь — отдельная задача, но она не меняет общий учебный контекст.
1. Упростить выражение
\[ \left( \frac{x-y}{x^{2/3}+x^{1/3}y^{1/3}+y^{2/3}} - \frac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}} \right) \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^{-1/2} \]
Первая дробь
Используем формулу разности кубов:
\[ x-y=(x^{1/3}-y^{1/3})(x^{2/3}+x^{1/3}y^{1/3}+y^{2/3}) \]
Поэтому:
\[ \frac{x-y}{x^{2/3}+x^{1/3}y^{1/3}+y^{2/3}} =x^{1/3}-y^{1/3} \]
Вторая дробь
\[ x^{1/2}-y^{1/2} =(x^{1/4}-y^{1/4})(x^{1/4}+y^{1/4}) \]
Значит:
\[ \frac{x^{1/2}-y^{1/2}}{x^{1/4}+y^{1/4}} =x^{1/4}-y^{1/4} \]
Подставляем в скобку
\[ x^{1/3}-y^{1/3}-x^{1/4}+y^{1/4} \]
И ещё:
\[ \left(\frac{y}{x}\right)^{-1/2} =\left(\frac{x}{y}\right)^{1/2} =\sqrt{\frac{x}{y}} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \sqrt{\frac{x}{y}} \left( \sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}-\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y} \right) } \]
при \(x>0,\ y>0\).
2. Пункт 5
\[ 0{,}3(1)=0{,}31111\ldots \]
Разложим:
\[ 0{,}3(1)=0{,}3+0{,}0(1) \]
\[ 0{,}3=\frac{3}{10},\qquad 0{,}0(1)=\frac{1}{90} \]
Тогда:
\[ 0{,}3(1)=\frac{3}{10}+\frac{1}{90} =\frac{27}{90}+\frac{1}{90} =\frac{28}{90} =\frac{14}{45} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{14}{45}} \]
