Реши задание на изображении
Краткий ответ. Для квадратного неравенства \(ax^2+bx+c>0\) при \(a\ne0\), \(D=b^2-4ac\):
| \(a>0\) | \(a<0\) | |
|---|---|---|
| \(D>0\) | \((-\infty;x_1)\cup(x_2;+\infty)\) | \((x_1;x_2)\) |
| \(D=0\) | \((-\infty;x_1)\cup(x_1;+\infty)\) | \(\varnothing\) |
| \(D<0\) | \(\mathbb R\) | \(\varnothing\) |
В строке \(D>0\): \(x_1<x_2\) — корни. В строке \(D=0\): \(x_1=x_2\) — единственный корень. Скобки круглые, потому что неравенство строгое: сами корни не входят.
В таблице на фото нет строки \(D<0\), но её нужно добавить: если корней нет, выражение сохраняет один знак на всей числовой прямой — знак коэффициента \(a\).
Почему так работает. График \(y=ax^2+bx+c\) — парабола. Решение \(>0\) — это те \(x\), где парабола находится выше оси \(Ox\):
- \(a>0\): ветви вверх. При \(D>0\) парабола пересекает ось в двух точках, поэтому выше оси она «снаружи» корней. При \(D=0\) вершина касается оси: всюду выше, кроме самой точки касания. При \(D<0\) вся парабола выше оси.
- \(a<0\): ветви вниз. При \(D>0\) парабола выше оси только между корнями. При \(D=0\) она касается оси сверху, но выше неё не поднимается. При \(D<0\) вся парабола ниже оси.
Проверка на примере.
Решим \(x^2-6x+5>0\):
\[
D=36-20=16>0,\quad x_1=1,\ x_2=5.
\]
Так как \(a=1>0\), берём внешние промежутки:
\[
(-\infty;1)\cup(5;+\infty).
\]
Проверка: при \(x=0\): \(5>0\) — верно; при \(x=3\): \(-4>0\) — неверно; при \(x=6\): \(5>0\) — верно.
Если \(a=0\), неравенство перестаёт быть квадратным, и эта таблица к нему не применяется.
