Реши номер 476
Краткий ответ
а) \(\angle A=\angle C=84^\circ,\ \angle B=\angle D=96^\circ\);
б) \(\angle A=\angle C=117{,}5^\circ\) (\(117^\circ30'\)), \(\angle B=\angle D=62{,}5^\circ\) (\(62^\circ30'\));
в) \(\angle A=\angle C=71^\circ,\ \angle B=\angle D=109^\circ\);
г) \(\angle A=\angle C=120^\circ,\ \angle B=\angle D=60^\circ\).
Как рассуждать
В параллелограмме:
- противоположные углы равны: \(\angle A=\angle C,\ \angle B=\angle D\);
- соседние углы в сумме дают \(180^\circ\): \(\angle A+\angle B=180^\circ\).
Поэтому достаточно найти два соседних угла, а потом повторить их для противоположных.
а) \(\angle A=84^\circ\), значит, \(\angle C=84^\circ\). Тогда
\[
\angle B=\angle D=180^\circ-84^\circ=96^\circ.
\]
б) \(\angle A\) и \(\angle B\) — соседние, поэтому
\[
\angle A+\angle B=180^\circ.
\]
По условию \(\angle A-\angle B=55^\circ\). Сложим равенства:
\[
2\angle A=235^\circ \Rightarrow \angle A=117{,}5^\circ.
\]
Тогда
\[
\angle B=180^\circ-117{,}5^\circ=62{,}5^\circ.
\]
Проверка: \(117{,}5^\circ-62{,}5^\circ=55^\circ\).
в) \(\angle A\) и \(\angle C\) противоположные, поэтому \(\angle A=\angle C\). Их сумма \(142^\circ\), значит: \[ \angle A=\angle C=142^\circ:2=71^\circ. \] Тогда \[ \angle B=\angle D=180^\circ-71^\circ=109^\circ. \]
г) \(\angle A=2\angle B\), а вместе они дают \(180^\circ\): \[ 2\angle B+\angle B=180^\circ \Rightarrow 3\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle B=60^\circ. \] Значит, \(\angle A=120^\circ\), \(\angle C=120^\circ\), \(\angle D=60^\circ\).
Проверка: во всех пунктах сумма соседних углов равна \(180^\circ\), а сумма всех углов параллелограмма — \(360^\circ\).
Обсуждение
4 сообщенияПочему в букве б два угла а равно 235
В пункте б запись \(2\angle A\) означает не «два угла \(A\)», а удвоенную величину угла \(A\).
Там складывают два равенства:
\[ \angle A+\angle B=180^\circ \]
\[ \angle A-\angle B=55^\circ \]
Складываем левые и правые части:
\[ (\angle A+\angle B)+(\angle A-\angle B)=180^\circ+55^\circ \]
Углы \(B\) взаимно уничтожаются, а \(\angle A+\angle A=2\angle A\). Получаем:
\[ 2\angle A=235^\circ \]
Значит:
\[ \angle A=235^\circ:2=117{,}5^\circ \]
То есть \(2\angle A\) — это просто «два раза по \(\angle A\)», а не два разных угла параллелограмма.
Почему 180 плюс 55 мы делаем
Потому что мы складываем два уравнения, а не просто произвольно прибавляем \(55\) к \(180\).
Из условия:
\[ \angle A+\angle B=180^\circ \]
\[ \angle A-\angle B=55^\circ \]
Складываем левые части и правые части:
\[ (\angle A+\angle B)+(\angle A-\angle B)=180^\circ+55^\circ \]
Слева \(\angle B\) и \(-\angle B\) взаимно уничтожаются:
\[ 2\angle A=235^\circ \]
Отсюда:
\[ \angle A=235^\circ:2=117{,}5^\circ \]
Можно решить и подстановкой. Так как \(\angle A-\angle B=55^\circ\), то \(\angle B=\angle A-55^\circ\). Подставляем в первое уравнение:
\[ \angle A+(\angle A-55^\circ)=180^\circ \]
\[ 2\angle A-55^\circ=180^\circ \]
\[ 2\angle A=235^\circ \]
Получается то же самое. Сложение \(180^\circ+55^\circ\) — это удобный способ сразу избавиться от \(\angle B\).
