Реши
Коротко: логарифм — это показатель степени.
\[
\log_a b=x \iff a^x=b
\]
То есть надо представить число \(b\) степенью основания \(a\). Корень даёт дробный показатель, дробь — отрицательный.
На странице номера 266–277; ниже ответы по пунктам в порядке учебника.
266
\[ \log_3 3=1,\ \log_3 9=2,\ \log_3 27=3,\ \log_3 81=4 \] \[ \log_3 1=0,\ \log_3\frac13=-1,\ \log_3\frac19=-2,\ \log_3\frac1{243}=-5 \] \[ \log_3\sqrt[3]{3}=\frac13,\quad \log_3\frac1{3\sqrt[3]{3}}=-\frac43,\quad \log_3(9\sqrt[4]{3})=\frac94 \]
267–276
| № | Ответы по пунктам |
|---|---|
| 267 | \(4;\ 6;\ 1;\ 0\) |
| 268 | \(-1;\ -3;\ \frac12;\ -\frac52\) |
| 269 | \(3;\ 4;\ 1;\ 0\) |
| 270 | \(-2;\ -1;\ \frac13;\ -\frac13\) |
| 271 | \(5;\ -2;\ 3;\ 1;\ 0;\ -\frac13\) |
| 272 | \(4;\ 3;\ -2;\ -3\) |
| 273 | \(-3;\ -3;\ 3;\ -2\) |
| 274 | \(18;\ 16;\ 2;\ 6\) |
| 275 | \(64;\ 64;\ 36;\ 3\) |
| 276 | \(125;\ 144;\ 49;\ 1\) |
Как это получается
Например:
\[ \log_2 16=4,\quad \text{потому что }2^4=16. \]
\[ \log_2\frac1{4\sqrt2} =\log_2\left(2^{-2}\cdot 2^{-1/2}\right) =\log_2 2^{-5/2} =-\frac52. \]
Для выражений вида \(a^{\log_a b}\) работает правило: \[ a^{\log_a b}=b. \]
Поэтому: \[ 3^{\log_3 18}=18. \]
Если основания разные, переходим к одному основанию: \[ 8^{\log_2 5}=(2^3)^{\log_2 5} =2^{3\log_2 5}=5^3=125. \]
277. Решить уравнения
\(\log_6 x=3\)
\[ x=6^3=216 \]\(\log_5 x=4\)
\[ x=5^4=625 \]\(\log_2(5-x)=3\)
\[ 5-x=2^3=8 \] \[ x=-3 \]\(\log_3(x+2)=3\)
\[ x+2=3^3=27 \] \[ x=25 \]\(\log_{1/6}(0{,}5+x)=-1\)
\[ 0{,}5+x=\left(\frac16\right)^{-1}=6 \] \[ x=5{,}5 \]
Ответы:
\[
\boxed{216;\ 625;\ -3;\ 25;\ 5{,}5}
\]
Проверка для №277: все найденные значения дают положительное число под знаком логарифма, поэтому подходят.
