Реши задание на изображении

Краткий ответ: верный вариант — четвёртый (он отмечен): \[ \frac{4}{m}+\frac{2}{m+4n}-\frac{m-2n}{16n^2-m^2} = \frac{64n^2+10mn-7m^2}{m(16n^2-m^2)}. \]

Как решать:

1. Замечаем разность квадратов: \[ 16n^2-m^2=(4n-m)(4n+m)=(4n-m)(m+4n). \]

2. Объединяем две последние дроби: \[ \frac{2}{m+4n}-\frac{m-2n}{(4n-m)(m+4n)} = \frac{2(4n-m)-(m-2n)}{(4n-m)(m+4n)}. \] Упрощаем числитель: \[ 2(4n-m)-(m-2n)=8n-2m-m+2n=10n-3m. \] Поэтому \[ \frac{2}{m+4n}-\frac{m-2n}{16n^2-m^2} = \frac{10n-3m}{16n^2-m^2}. \]

3. Теперь прибавляем \(\frac4m\): \[ \frac4m+\frac{10n-3m}{16n^2-m^2} = \frac{4(16n^2-m^2)+m(10n-3m)}{m(16n^2-m^2)}. \] Раскрываем скобки: \[ 64n^2-4m^2+10mn-3m^2 = 64n^2+10mn-7m^2. \]

Получаем: \[ \frac{64n^2+10mn-7m^2}{m(16n^2-m^2)}. \]

Проверка: при \(m=1,\ n=1\) левая часть равна \[ 4+\frac25-\frac{1-2}{15}=\frac{67}{15}, \] и правая тоже: \[ \frac{64+10-7}{15}=\frac{67}{15}. \]

Ограничения: \(m\ne0,\ m\ne\pm4n\), потому что на ноль делить нельзя.