Реши все с Дано и решением

Question 1

Задача Задача №3764840

А

Аноним

4 дня назад · публичный вопрос

А

Аноним 4 дня назад

Реши все с Дано и решением

Answer

Ниже — все задания, которые видны на фото: вариант 1 №1–5 и вариант 2 №1–4. В варианте 2 нижняя часть обрезана; если есть ещё №5, пришли его.

Вариант 1

№1

Дано: \(AB=BC\), \(BF=BD\); по рис. 42 прямые \(AC\) и \(DF\) пересекаются в точке \(B\).
Доказать: \(\triangle ABF=\triangle CBD\).

Доказательство:
\(\angle ABF\) и \(\angle CBD\) — вертикальные, поэтому они равны.
В треугольниках \(ABF\) и \(CBD\):

\(AB=CB\),
\(BF=BD\),
углы между этими сторонами равны.

Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Ч.т.д.

№2

Дано: равнобедренный треугольник, \(P=33\) см, основание на \(3\) см меньше боковой стороны.
Найти: стороны.

Решение:
Пусть боковая сторона равна \(x\) см, тогда основание \(x-3\) см.

\[ 2x+(x-3)=33 \]

\[ 3x=36,\quad x=12 \]

Тогда основание:

\[ 12-3=9 \text{ см} \]

Ответ: \(12\) см, \(12\) см, \(9\) см.

№3

Дано: \(\triangle ABC\), \(AB=BC\); \(D\in AB\), \(E\in BC\); \(\angle ACD=\angle CAE\).
Доказать: \(AD=CE\).

Доказательство:
Так как \(D\) лежит на \(AB\), а \(E\) — на \(BC\), то

\[ \angle CAD=\angle CAB,\qquad \angle ACE=\angle ACB. \]

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) углы при основании равны:

\[ \angle CAB=\angle ACB. \]

Значит,

\[ \angle CAD=\angle ACE. \]

Рассмотрим треугольники \(ACD\) и \(CAE\):

\(AC\) — общая сторона;
\(\angle ACD=\angle CAE\) по условию;
\(\angle CAD=\angle ACE\) доказано.

По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны. Следовательно, соответствующие стороны равны:

\[ AD=CE. \]

Ч.т.д.

№4

Дано: \(EK=FK\), \(EC=FC\); по рис. 43 \(K\in EF\), точки \(M,K,C\) лежат на одной прямой.
Доказать: \(\angle EMK=\angle FMK\).

Доказательство:
В треугольнике \(ECF\):

\[ EC=FC, \]

то есть треугольник равнобедренный, а \(EK=FK\), значит, \(CK\) — медиана к основанию \(EF\). В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому

\[ CK\perp EF. \]

Так как \(M,K,C\) лежат на одной прямой, то

\[ MK\perp EF. \]

Значит,

\[ \angle EKM=\angle FKM=90^\circ. \]

Треугольники \(EKM\) и \(FKM\):

\(EK=FK\),
\(MK\) — общая,
углы между этими сторонами равны.

По двум сторонам и углу между ними \(\triangle EKM=\triangle FKM\). Следовательно,

\[ \angle EMK=\angle FMK. \]

Ч.т.д.

№5

Дано: \(M\in AC\), \(M\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\), \(BC=8\) см, \(P_{MBC}=25\) см.
Найти: \(AC\).

Решение:
Точка \(M\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\), значит,

\[ MA=MB. \]

Периметр треугольника \(MBC\):

\[ P_{MBC}=MB+BC+MC. \]

Заменяем \(MB\) на \(MA\):

\[ 25=MA+MC+8. \]

Так как \(M\) лежит на стороне \(AC\),

\[ MA+MC=AC. \]

Тогда:

\[ 25=AC+8, \]

\[ AC=17 \text{ см}. \]

Ответ: \(17\) см.

Вариант 2

№1

Дано: \(AB=BC\), \(\angle ABD=\angle CBD\).
Доказать: \(\triangle ABD=\triangle CBD\).

Доказательство:
В треугольниках \(ABD\) и \(CBD\):

\(AB=CB\),
\(BD\) — общая сторона,
\(\angle ABD=\angle CBD\).

По двум сторонам и углу между ними треугольники равны. Ч.т.д.

№2

Дано: равнобедренный треугольник, \(P=30\) см, боковая сторона на \(6\) см меньше основания.
Найти: стороны.

Решение:
Пусть основание равно \(x\) см, тогда боковая сторона \(x-6\) см.

\[ 2(x-6)+x=30 \]

\[ 2x-12+x=30 \]

\[ 3x=42,\quad x=14 \]

Тогда боковая сторона:

\[ 14-6=8 \text{ см}. \]

Ответ: \(8\) см, \(8\) см, \(14\) см.

№3

Дано: \(\triangle ABC\), \(AB=BC\), \(M,K\in AC\), \(M\) лежит между \(A\) и \(K\), \(\angle ABM=\angle CBK\).
Доказать: \(AM=CK\).

Доказательство:
В равнобедренном треугольнике \(ABC\):

\[ \angle BAC=\angle BCA. \]

Так как \(M\) и \(K\) лежат на \(AC\), то

\[ \angle BAM=\angle BAC, \]

\[ \angle BCK=\angle BCA. \]

Значит,

\[ \angle BAM=\angle BCK. \]

Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(CBK\):

\(AB=CB\),
\(\angle ABM=\angle CBK\) по условию,
\(\angle BAM=\angle BCK\) доказано.

По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны. Следовательно,

\[ AM=CK. \]

Ч.т.д.

№4

Дано: \(AB=AD\), \(BC=DC\), \(O=AC\cap BD\).
Доказать: \(BO=DO\).

Доказательство:
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\):

\(AB=AD\),
\(BC=DC\),
\(AC\) — общая сторона.

По трём сторонам

\[ \triangle ABC=\triangle ADC. \]

Значит,

\[ \angle BAC=\angle DAC. \]

Так как \(O\) лежит на \(AC\), то

\[ \angle BAO=\angle DAO. \]

Теперь рассмотрим треугольники \(ABO\) и \(ADO\):

\(AB=AD\),
\(AO\) — общая сторона,
\(\angle BAO=\angle DAO\).

По двум сторонам и углу между ними

\[ \triangle ABO=\triangle ADO. \]

Следовательно,

\[ BO=DO. \]

Ч.т.д.

Главное в таких задачах: ищи три пары равных элементов — две стороны и угол между ними либо сторону и два прилежащих угла.

Question 2

реши все с Дано и решением

Answer

Ниже — все задания, которые видны на фото: **вариант 1 №1–5** и **вариант 2 №1–4**. В варианте 2 нижняя часть обрезана; если есть ещё №5, пришли его. ## Вариант 1 ### №1 **Дано:** \(AB=BC\), \(BF=BD\); по рис. 42 прямые \(AC\) и \(DF\) пересекаются в точке \(B\). **Доказать:** \(\triangle ABF=\triangle CBD\). **Доказательство:** \(\angle ABF\) и \(\angle CBD\) — вертикальные, поэтому они равны. В треугольниках \(ABF\) и \(CBD\): - \(AB=CB\), - \(BF=BD\), - углы между этими сторонами равны. Значит, треугольники равны **по двум сторонам и углу между ними**. Ч.т.д. --- ### №2 **Дано:** равнобедренный треугольник, \(P=33\) см, основание на \(3\) см меньше боковой стороны. **Найти:** стороны. **Решение:** Пусть боковая сторона равна \(x\) см, тогда основание \(x-3\) см. \[ 2x+(x-3)=33 \] \[ 3x=36,\quad x=12 \] Тогда основание: \[ 12-3=9 \text{ см} \] **Ответ:** \(12\) см, \(12\) см, \(9\) см. --- ### №3 **Дано:** \(\triangle ABC\), \(AB=BC\); \(D\in AB\), \(E\in BC\); \(\angle ACD=\angle CAE\). **Доказать:** \(AD=CE\). **Доказательство:** Так как \(D\) лежит на \(AB\), а \(E\) — на \(BC\), то \[ \angle CAD=\angle CAB,\qquad \angle ACE=\angle ACB. \] В равнобедренном треугольнике \(ABC\) углы при основании равны: \[ \angle CAB=\angle ACB. \] Значит, \[ \angle CAD=\angle ACE. \] Рассмотрим треугольники \(ACD\) и \(CAE\): - \(AC\) — общая сторона; - \(\angle ACD=\angle CAE\) по условию; - \(\angle CAD=\angle ACE\) доказано. По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны. Следовательно, соответствующие стороны равны: \[ AD=CE. \] Ч.т.д. --- ### №4 **Дано:** \(EK=FK\), \(EC=FC\); по рис. 43 \(K\in EF\), точки \(M,K,C\) лежат на одной прямой. **Доказать:** \(\angle EMK=\angle FMK\). **Доказательство:** В треугольнике \(ECF\): \[ EC=FC, \] то есть треугольник равнобедренный, а \(EK=FK\), значит, \(CK\) — медиана к основанию \(EF\). В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому \[ CK\perp EF. \] Так как \(M,K,C\) лежат на одной прямой, то \[ MK\perp EF. \] Значит, \[ \angle EKM=\angle FKM=90^\circ. \] Треугольники \(EKM\) и \(FKM\): - \(EK=FK\), - \(MK\) — общая, - углы между этими сторонами равны. По двум сторонам и углу между ними \(\triangle EKM=\triangle FKM\). Следовательно, \[ \angle EMK=\angle FMK. \] Ч.т.д. --- ### №5 **Дано:** \(M\in AC\), \(M\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\), \(BC=8\) см, \(P_{MBC}=25\) см. **Найти:** \(AC\). **Решение:** Точка \(M\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\), значит, \[ MA=MB. \] Периметр треугольника \(MBC\): \[ P_{MBC}=MB+BC+MC. \] Заменяем \(MB\) на \(MA\): \[ 25=MA+MC+8. \] Так как \(M\) лежит на стороне \(AC\), \[ MA+MC=AC. \] Тогда: \[ 25=AC+8, \] \[ AC=17 \text{ см}. \] **Ответ:** \(17\) см. --- ## Вариант 2 ### №1 **Дано:** \(AB=BC\), \(\angle ABD=\angle CBD\). **Доказать:** \(\triangle ABD=\triangle CBD\). **Доказательство:** В треугольниках \(ABD\) и \(CBD\): - \(AB=CB\), - \(BD\) — общая сторона, - \(\angle ABD=\angle CBD\). По двум сторонам и углу между ними треугольники равны. Ч.т.д. --- ### №2 **Дано:** равнобедренный треугольник, \(P=30\) см, боковая сторона на \(6\) см меньше основания. **Найти:** стороны. **Решение:** Пусть основание равно \(x\) см, тогда боковая сторона \(x-6\) см. \[ 2(x-6)+x=30 \] \[ 2x-12+x=30 \] \[ 3x=42,\quad x=14 \] Тогда боковая сторона: \[ 14-6=8 \text{ см}. \] **Ответ:** \(8\) см, \(8\) см, \(14\) см. --- ### №3 **Дано:** \(\triangle ABC\), \(AB=BC\), \(M,K\in AC\), \(M\) лежит между \(A\) и \(K\), \(\angle ABM=\angle CBK\). **Доказать:** \(AM=CK\). **Доказательство:** В равнобедренном треугольнике \(ABC\): \[ \angle BAC=\angle BCA. \] Так как \(M\) и \(K\) лежат на \(AC\), то \[ \angle BAM=\angle BAC, \] \[ \angle BCK=\angle BCA. \] Значит, \[ \angle BAM=\angle BCK. \] Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(CBK\): - \(AB=CB\), - \(\angle ABM=\angle CBK\) по условию, - \(\angle BAM=\angle BCK\) доказано. По стороне и двум прилежащим углам треугольники равны. Следовательно, \[ AM=CK. \] Ч.т.д. --- ### №4 **Дано:** \(AB=AD\), \(BC=DC\), \(O=AC\cap BD\). **Доказать:** \(BO=DO\). **Доказательство:** Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\): - \(AB=AD\), - \(BC=DC\), - \(AC\) — общая сторона. По трём сторонам \[ \triangle ABC=\triangle ADC. \] Значит, \[ \angle BAC=\angle DAC. \] Так как \(O\) лежит на \(AC\), то \[ \angle BAO=\angle DAO. \] Теперь рассмотрим треугольники \(ABO\) и \(ADO\): - \(AB=AD\), - \(AO\) — общая сторона, - \(\angle BAO=\angle DAO\). По двум сторонам и углу между ними \[ \triangle ABO=\triangle ADO. \] Следовательно, \[ BO=DO. \] Ч.т.д. **Главное в таких задачах:** ищи три пары равных элементов — две стороны и угол между ними либо сторону и два прилежащих угла.