Реши

Краткие ответы

1. в) \(6^{\frac57}=\sqrt[7]{6^5}\)
2. а) 6; б) \(\frac{8}{11}\)
3. \(x=\frac{256}{3}\)
4. \(\frac56\) — если последний логарифм записан как \(\log_2\frac{1,5}{3}\)
5. 1 при \(x\ne1\)

---

1. Дробная степень и корень

Для положительного числа: \[ a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}. \] Поэтому \[ 6^{\frac57}=\sqrt[7]{6^5}. \]

Верный вариант — в).

---

2. Вычисления с логарифмами

а) \[ \log_2 8=3,\qquad \log_3\frac1{27}=\log_3 3^{-3}=-3. \] Значит: \[ 3-(-3)=6. \]

б) Отрицательная степень переворачивает дробь: \[ \left(\frac{121}{64}\right)^{-\frac12} =\left(\frac{64}{121}\right)^{\frac12} =\sqrt{\frac{64}{121}} =\frac{8}{11}. \]

---

3. Уравнение с корнями

\[ \sqrt{3x}-4=3\sqrt[4]{3x}. \]

Обозначим \[ t=\sqrt[4]{3x},\qquad t\ge0. \] Тогда \[ \sqrt{3x}=t^2. \] Получаем: \[ t^2-4=3t, \] \[ t^2-3t-4=0, \] \[ (t-4)(t+1)=0. \] Корни: \(t=4\) или \(t=-1\). Но \(t\ge0\), поэтому \(t=4\).

Тогда: \[ \sqrt[4]{3x}=4, \] \[ 3x=4^4=256, \] \[ x=\frac{256}{3}. \]

Проверка: \[ \sqrt{3x}=\sqrt{256}=16. \] Левая часть: \(16-4=12\), правая: \(3\cdot4=12\). Верно.

---

4. Значение выражения

Считаю, что последний логарифм: \[ \log_2\frac{1,5}{3}. \]

Идём изнутри: \[ \sqrt[4]{\sqrt[4]{4}}=4^{\frac1{16}}=2^{\frac18}. \] Тогда \[ \log_4 2^{\frac18} =\frac18\log_4 2 =\frac18\cdot\frac12 =\frac1{16}. \] Далее: \[ \log_{64}\frac1{16} =\log_{2^6}2^{-4} =-\frac46 =-\frac23. \]

Ещё: \[ \log_{25}5=\frac12, \] \[ \log_2\frac{1,5}{3}=\log_2 0,5=-1. \]

Складываем: \[ -\frac23+\frac12-(-1) =-\frac23+\frac12+1 =\frac56. \]

Ответ: \(\frac56\).

Если в записи нет деления на \(3\), а стоит просто \(\log_2 1,5\), то ответ был бы \[ \frac56-\log_2 3. \]

---

5. Упрощение выражения

Обозначим \[ t=x^{\frac15}. \] Тогда \[ x^{\frac25}=t^2,\qquad x^{\frac35}=t^3. \]

Выражение принимает вид: \[ \left(\frac{t^3-t}{t^2-1}-2t+1\right)\cdot\frac{1+t}{1-t^2}. \]

Сначала: \[ \frac{t^3-t}{t^2-1} =\frac{t(t^2-1)}{t^2-1} =t. \] Поэтому в скобках: \[ t-2t+1=1-t. \]

Второй множитель: \[ \frac{1+t}{1-t^2} =\frac{1+t}{(1-t)(1+t)} =\frac1{1-t}. \]

Всё произведение: \[ (1-t)\cdot\frac1{1-t}=1. \]

Ответ: \(1\) при \(x\ne1\). Если в вашей программе разрешены отрицательные \(x\) при нечётном корне, то ещё \(x\ne-1\).

Общий принцип: дробные степени удобно заменять корнями или новой переменной \(t\), а логарифмы считать по определению, приводя числа к степени основания.