Реши задание на изображении

Ответ: \(\displaystyle \frac{b}{a+b}\) — третий вариант.

Как решать

Исходное выражение:

\[ \frac{ab-b^2}{a^2+b^2}\cdot\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b}\right) \]

1. Разложим числитель первой дроби:

\[ ab-b^2=b(a-b) \]

2. Сложим дроби в скобках. Общий знаменатель:

\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]

\[ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b} = \frac{a(a-b)+b(a+b)}{(a+b)(a-b)} \]

Раскрываем скобки:

\[ a(a-b)+b(a+b)=a^2-ab+ab+b^2=a^2+b^2 \]

Значит:

\[ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{a-b} = \frac{a^2+b^2}{(a+b)(a-b)} \]

3. Умножаем:

\[ \frac{b(a-b)}{a^2+b^2}\cdot \frac{a^2+b^2}{(a+b)(a-b)} \]

Сокращаем \(a^2+b^2\) и \(a-b\):

\[ \frac{b}{a+b} \]

Проверка: при \(a=2,\ b=1\):

\[ \frac{2\cdot1-1^2}{2^2+1^2} \left(\frac{2}{3}+\frac{1}{1}\right) = \frac15\cdot \frac53 = \frac13 \]

А \(\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{1}{3}\). Всё сходится.

\[ \boxed{\frac{b}{a+b}} \]