Реши

Короткие ответы:

1. в) \(\sqrt[7]{6^5}\)
2. а) \(6\); б) \(\frac{8}{11}\)
3. \(x=\frac{256}{3}\)
4. \(\frac56-\log_3 2\)
5. \(1\) при \(x>0,\ x\ne1\)

1. Степень с дробным показателем

Используем правило: \[ a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}. \] Поэтому \[ 6^{5/7}=\sqrt[7]{6^5}. \] Это вариант в.

2. Вычисления

а) \[ \log_2 8=3,\qquad \log_3\frac1{27}=\log_3 3^{-3}=-3. \] Значит: \[ 3-(-3)=6. \]

б) \[ \left(\frac{121}{64}\right)^{-1/2} =\left(\frac{64}{121}\right)^{1/2} =\frac{8}{11}. \]

3. Уравнение

\[ \sqrt{3x}-4=3\sqrt[4]{3x}. \] Обозначим \[ t=\sqrt[4]{3x}\ge0. \] Тогда \(\sqrt{3x}=t^2\), и уравнение становится таким: \[ t^2-4=3t. \] То есть \[ t^2-3t-4=0, \] \[ (t-4)(t+1)=0. \] Корень \(t=-1\) не подходит, так как \(t\ge0\). Значит \(t=4\): \[ \sqrt[4]{3x}=4 \Rightarrow 3x=4^4=256, \] \[ x=\frac{256}{3}. \]

Проверка: \[ \sqrt{256}-4=16-4=12, \] \[ 3\sqrt[4]{256}=3\cdot4=12. \] Верно.

4. Значение выражения

Читаю по фото: \[ \log_{64}\log_4\sqrt[4]{\sqrt[4]{4}} +\log_{25}5-\log_{1/3}1{,}5. \]

Сначала: \[ \sqrt[4]{\sqrt[4]{4}}=4^{1/16}=2^{1/8}. \] Тогда \[ \log_4 2^{1/8}=\frac{1/8}{2}=\frac1{16}. \] Далее: \[ \log_{64}\frac1{16} =\log_{2^6}2^{-4} =-\frac46=-\frac23. \] Ещё: \[ \log_{25}5=\frac12. \] И \[ \log_{1/3}\frac32=-\log_3\frac32. \] Собираем: \[ -\frac23+\frac12-\left(-\log_3\frac32\right) =-\frac16+\log_3\frac32. \] Так как \(\log_3\frac32=1-\log_3 2\), получаем: \[ -\frac16+1-\log_3 2 =\frac56-\log_3 2. \]

5. Упрощение выражения

Пусть \[ t=x^{1/5}. \] Тогда \[ x^{3/5}=t^3,\qquad x^{2/5}=t^2. \] Первая дробь: \[ \frac{t^3-t}{t^2-1} =\frac{t(t^2-1)}{t^2-1}=t. \] Скобка: \[ t-2t+1=1-t. \] Второй множитель: \[ \frac{1+t}{1-t^2}. \] Всё выражение: \[ (1-t)\cdot\frac{1+t}{1-t^2} =(1-t)\cdot\frac{1+t}{(1-t)(1+t)}=1. \] Ответ: \(1\).