Сделай конспект по вероятности и статистике 7 класс

Медиана — это «серединка» набора чисел.

Как найти:

1. Расставь все числа по возрастанию.
2. Найди то, что стоит ровно посередине.

Пример 1. \(3, 5, 8, 10, 12\) — посередине \(8\). Медиана = \(8\).

Пример 2 (чисел чётное количество). \(2, 4, 6, 10\) — посередине два числа: \(4\) и \(6\). Медиана — их среднее: \((4+6):2 = 5\).

Зачем нужна. Медиана показывает типичное значение и не боится «выскакивающих» чисел. Например, зарплаты: \(20, 25, 30, 35, 1000\) тыс. Среднее будет \(222\) тыс. — как будто все богачи, а медиана \(30\) тыс. честнее говорит, как живёт большинство.

Медиана — «серединка» упорядоченного набора чисел.

1. Расставь числа по возрастанию.
2. Возьми среднее число.
3. Если чисел чётное количество — возьми среднее двух средних.

Примеры:

• \(3, 5, 8, 10, 12\) → \(8\)
• \(2, 4, 6, 10\) → \((4+6):2 = 5\)

Не боится выбросов, поэтому лучше среднего показывает типичное значение.

Конспект: Описательная статистика (7 класс)

1. Что такое набор данных

Числа, которые мы изучаем, — это набор данных (например, оценки, температуры, рост учеников). Каждое число набора — варианта. Набор, записанный по возрастанию, — вариационный ряд. Количество чисел — объём набора \(n\).

2. Среднее арифметическое

\[ \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} \] Сумма всех чисел, делённая на их количество.

3. Медиана

Медиана — число, которое делит упорядоченный ряд пополам: хотя бы половина чисел не больше него и хотя бы половина — не меньше.

Как найти:

1. Записать числа по возрастанию.
2. Если \(n\) нечётное — взять число на месте \(\frac{n+1}{2}\).
3. Если \(n\) чётное — взять среднее арифметическое двух чисел посередине.

Примеры:

• \(3, 5, 8, 10, 12\) → медиана \(8\) (пятое из пяти).
• \(2, 4, 6, 10\) → медиана \(\frac{4+6}{2}=5\).

4. Мода

Мода — число, которое встречается в наборе чаще других. Мод может быть несколько или ни одной.

5. Размах

\[ R = x_{\max}-x_{\min} \] Показывает, насколько «разбросаны» данные.

6. Пример решения

Набор: \(4, 9, 7, 4, 5, 8, 4, 12\). \(n=8\).

• Сумма \(=53\), среднее \(=53:8=6{,}625\)
• Вариационный ряд: \(4,4,4,5,7,8,9,12\)
• Медиана \(=\frac{5+7}{2}=6\)
• Мода \(=4\) (встречается 3 раза)
• Размах \(=12-4=8\)

7. Почему важна медиана

Среднее арифметическое сильно меняется от одного «выброса», а медиана — почти нет.

Добавим к набору выше число \(100\):

• среднее: было \(6{,}6\) → стало \(\frac{153}{9}=17\) (выросло в 2,5 раза);
• медиана: была \(6\) → стала \(6{,}5\) (почти не изменилась).

Вывод: там, где есть резко выделяющиеся значения (зарплаты, цены), медиана честнее показывает типичное значение.

8. Памятка

Продолжение конспекта: выбросы и свойства медианы

9. Выброс

Выброс — значение, которое сильно отличается от остальных чисел набора.

Пример: население городов-миллионников (тыс. чел.). Большинство городов — примерно \(1000\)–\(1600\), но есть Санкт-Петербург (\(5384\)) и Москва (\(12611\)).

Среднее арифметическое: \[ \frac{33582}{15}\approx 2239 \text{ тыс. чел.} \] Но «типичный» город-миллионник так описывать нельзя: среднее завышено из-за двух выбросов.

10. Медиана вместо среднего

Упорядочим данные. Медиана — восьмое по счёту значение из 15: \[ 1144 \text{ тыс. чел.} \] Это население Самары, то есть медианный представитель набора.

Вывод: при выбросах медиана лучше описывает типичное значение, чем среднее арифметическое.

11. Достоинства и недостатки медианы

Достоинство:

• устойчива к выбросам — отдельные сильно выделяющиеся числа почти не меняют медиану.

Недостатки:

• набор приходится упорядочивать;
• медиана использует только одно или два средних значения, поэтому часть информации о данных теряется.

12. Медиана в электронных таблицах

В Excel и аналогичных программах медиана находится функцией: \[ \text{=МЕДИАНА(диапазон)} \] Например, для чисел \(1, 9, 5, 6, 3\) функция вернёт \(5\).

13. Проверь себя (ответы на вопросы учебника)

1. Среднее плохо описывает набор, если есть выбросы или данные неоднородны: зарплаты, население городов, цены на квартиры.
2. Медиана — число, которое делит упорядоченный набор пополам: хотя бы половина чисел не больше него и хотя бы половина — не меньше.
3. В наборе из \(19\) чисел медиана — 10-е число.
4. В наборе из \(24\) чисел медиана заключена между 12-м и 13-м числами (обычно берут их среднее арифметическое).
5. Выброс — значение, сильно отличающееся от остальных.
6. Главное достоинство медианы — устойчивость к выбросам.

54

55

Числа на числовой прямой отмечаются по их значениям; медиана выделяется.

• а) \(3,8,11\) → медиана \(8\)
• б) \(1,4,5,7,8\) → медиана \(5\)
• в) \(3,4,5,7,8,9,10\) → медиана \(7\)

56

• а) \(3,9,11,17\) → медиана \(\frac{9+11}{2}=10\)
• б) \(1,4,5,6,7,8\) → медиана \(\frac{5+6}{2}=5{,}5\)
• в) \(3,4,5,7,8,9,11,13\) → медиана \(\frac{7+8}{2}=7{,}5\)

57

• а) \(3,4,11,17,21\) → медиана \(11\)
• б) \(17,18,19,25,28\) → медиана \(19\)
• в) \(25,25,27,28,29,40,50\) → медиана \(28\)

58

• а) \(2,4,8,9\) → медиана \(\frac{4+8}{2}=6\)
• б) \(1,3,5,7,8,9\) → медиана \(\frac{5+7}{2}=6\)
• в) \(10,11,11,12,14,17,18,22\) → медиана \(\frac{12+14}{2}=13\)

Задание 54: как это решать

Две вещи, которые просят найти:

• Среднее арифметическое = сумма всех чисел : их количество.
• Медиана = число посередине, когда числа стоят по возрастанию. Если чисел чётное количество — берём среднее двух средних чисел.

Разберём каждый пункт.

а) \(1, 3, 5, 7, 9\)

• Сумма: \(1+3+5+7+9=25\), чисел \(5\).
• Среднее: \(25:5=5\).
• Числа уже по возрастанию, посередине стоит \(5\). Медиана \(=5\).

б) \(1, 3, 5, 7, 14\)

• Сумма: \(1+3+5+7+14=30\), чисел \(5\) (не \(6\)! — в прошлом ответе тут была опечатка в записи, ответ \(6\) верный).
• Среднее: \(30:5=6\).
• Посередине стоит \(5\). Медиана \(=5\).
• Заметь: среднее \(6\), а медиана \(5\) — число \(14\) «тянет» среднее вверх.

в) \(1, 3, 5, 7, 9, 11\)

• Сумма: \(36\), чисел \(6\).
• Среднее: \(36:6=6\).
• Чётное количество, посередине два числа: \(5\) и \(7\). Медиана: \((5+7):2=6\).

г) \(1, 3, 5, 7, 9, 17\)

• Сумма: \(42\), чисел \(6\).
• Среднее: \(42:6=7\).
• Посередине снова \(5\) и \(7\). Медиана: \((5+7):2=6\).
• Опять видно: из-за \(17\) среднее \(7\), а медиана осталась \(6\).

Главная мысль задания: выброс (число \(14\) или \(17\)) сильно меняет среднее, но почти не меняет медиану.

Если в учебнике в задании 54 другие числа — пришли фото страницы, пересчитаю по ним.