Номер 1072
Краткий ответ (для № 1072 из Атанасяна):
а) \(36\ \text{дм}^2\);
б) \(16\sqrt3\ \text{см}^2\);
в) \(162\sqrt3\ \text{см}^2\).
Как рассуждать. Правильный \(n\)-угольник можно разбить на \(n\) равных треугольников с вершиной в центре. Если \(a\) — сторона, \(r\) — радиус вписанной окружности, то площадь одного такого треугольника \(\frac12 ar\), а всего многоугольника: \[ S=n\cdot \frac12 ar=\frac12 Pr, \] где \(P=na\).
Полезные связи: \[ a=2R\sin\frac{180^\circ}{n},\qquad a=2r\tan\frac{180^\circ}{n}. \]
а) \(n=4\), это квадрат.
\[
a=2\cdot 3\sqrt2\cdot \sin45^\circ=6,
\]
\[
S=a^2=36\ \text{дм}^2.
\]
б) \(n=3\), треугольник, \(P=24\) см, значит сторона: \[ a=\frac{24}{3}=8\ \text{см}. \] Площадь равностороннего треугольника: \[ S=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot64=16\sqrt3\ \text{см}^2. \]
в) \(n=6\), \(r=9\) см. Сторона шестиугольника: \[ a=2r\tan30^\circ=18\cdot\frac1{\sqrt3}=6\sqrt3\ \text{см}. \] Периметр: \[ P=6a=36\sqrt3\ \text{см}. \] Тогда \[ S=\frac12Pr=\frac12\cdot36\sqrt3\cdot9 =162\sqrt3\ \text{см}^2. \]
Проверка: формулы дают те же значения, что и разбиение на равные треугольники; единицы измерения сохраняются.
