Риши 102 с рисункоми

Краткий ответ: треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам.

Рисунок. В учебнике к задаче 102 рисунка нет — его нужно построить самому. Нарисуй четырёхугольник \(ABCD\), проведи диагонали \(AC\) и \(BD\). Пусть они пересекаются в точке \(O\). По условию:

\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

Схема:

      A
     / \
    /   \
   D--O--B
    \   /
     \ /
      C

Отметь на рисунке равные отрезки: \(AO=OC\) и \(BO=OD\).

Доказательство по шагам:

1. Рассмотрим \(\triangle AOB\) и \(\triangle COD\). У них: \[ AO=OC,\quad BO=OD,\quad \angle AOB=\angle COD \] (углы вертикальные). Значит, \(\triangle AOB=\triangle COD\) по первому признаку равенства треугольников. Отсюда \[ AB=CD. \]

2. Аналогично \(\triangle BOC=\triangle DOA\): \[ BO=OD,\quad CO=AO,\quad \angle BOC=\angle DOA \] (вертикальные углы). Поэтому \[ BC=AD. \]

3. Теперь рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). У них: \[ AB=CD,\qquad BC=AD,\qquad AC \text{ — общая сторона.} \] По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам): \[ \triangle ABC=\triangle CDA. \]

Проверка: в записи \(\triangle ABC=\triangle CDA\) порядок вершин как раз соответствует равенствам \(AB=CD\), \(BC=DA\), \(AC=CA\). Всё сходится.

Что запомнить: если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то противоположные стороны равны, а треугольники, образованные диагональю, равны по трём сторонам. Кстати, из этого же следует, что \(ABCD\) — параллелограмм.