Решите с объяснением

По фото уравнение:

\[ 4^x+2^{x+1}-8=0 \]

Пусть \(t=2^x>0\). Тогда:

\[ 4^x=(2^x)^2=t^2,\qquad 2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t \]

Получаем:

\[ t^2+2t-8=0 \]

\[ D=4+32=36 \]

\[ t=\frac{-2\pm 6}{2} \]

\[ t_1=2,\qquad t_2=-4 \]

Корень \(t=-4\) не подходит, так как \(2^x>0\). Значит:

\[ 2^x=2 \]

\[ x=1 \]

Проверка:

\[ 4^1+2^{2}-8=4+4-8=0 \]

Ответ: \(x=1\).

В исходном уравнении \(32\) нет — оно появляется только при вычислении дискриминанта.

Для уравнения

\[ t^2+2t-8=0 \]

коэффициенты:

\[ a=1,\quad b=2,\quad c=-8 \]

Формула дискриминанта:

\[ D=b^2-4ac \]

Подставляем:

\[ D=2^2-4\cdot1\cdot(-8) \]

\[ D=4-(-32)=4+32=36 \]

То есть \(32\) получилось из \(4\cdot8\), потому что минус на минус даёт плюс:

\[ -4\cdot(-8)=+32 \]

Дальше:

\[ t=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{-2\pm6}{2} \]

Отсюда \(t=2\) или \(t=-4\). Так как \(t=2^x>0\), остаётся \(t=2\), значит \(x=1\).

На фото уравнение:

\[ 5\cdot 2^{2x}-13\cdot 6^x+6\cdot 3^{2x}=0 \]

1. Перейдём к одному основанию

Так как

\[ 2^{2x}=(2^x)^2,\qquad 3^{2x}=(3^x)^2,\qquad 6^x=2^x\cdot 3^x, \]

разделим уравнение на \(3^{2x}>0\):

\[ 5\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}-13\left(\frac{2}{3}\right)^x+6=0 \]

2. Замена

Пусть

\[ t=\left(\frac23\right)^x>0 \]

Тогда:

\[ 5t^2-13t+6=0 \]

Находим дискриминант:

\[ D=(-13)^2-4\cdot5\cdot6=169-120=49 \]

\[ t=\frac{13\pm7}{10} \]

Значит:

\[ t_1=2,\qquad t_2=\frac35 \]

Оба значения положительны, поэтому оба подходят.

3. Возвращаемся к \(x\)

\[ \left(\frac23\right)^x=2 \]

\[ x=\log_{\frac23}2 \]

и

\[ \left(\frac23\right)^x=\frac35 \]

\[ x=\log_{\frac23}\frac35 \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\log_{\frac23}2 \quad \text{или} \quad x=\log_{\frac23}\frac35} \]

Приблизительно:

\[ x\approx-1{,}71 \quad \text{или} \quad x\approx1{,}26 \]