Реши номер 126

Пришлите условие или фото номера 127 — по одному номеру без учебника невозможно надёжно понять, какое именно задание нужно решить.

Решение № 127:

Используем табличные значения и учитываем промежутки: \[ \arccos a\in[0;\pi],\qquad \arcsin a\in\left[-\frac\pi2;\frac\pi2\right]. \]

а)
\[ \arccos(-0{,}5)+\arcsin(-0{,}5) =\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{2} \] Ответ: \(\boxed{\frac{\pi}{2}}\) или \(90^\circ\).

б)
\[ \arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-\arcsin(-1) =\frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{2}\right) =\frac{3\pi}{4}+\frac{2\pi}{4} =\frac{5\pi}{4} \] Ответ: \(\boxed{\frac{5\pi}{4}}\) или \(225^\circ\).

в)
\[ \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) =\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3} =\frac{5\pi}{6}-\frac{2\pi}{6} =\frac{\pi}{2} \] Ответ: \(\boxed{\frac{\pi}{2}}\) или \(90^\circ\).

г)
\[ \arccos\frac{\sqrt2}{2}-\arcsin\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} =\frac{3\pi}{12}-\frac{4\pi}{12} =-\frac{\pi}{12} \] Ответ: \(\boxed{-\frac{\pi}{12}}\) или \(-15^\circ\).

Итог: \[ \boxed{ \text{а) }\frac{\pi}{2};\quad \text{б) }\frac{5\pi}{4};\quad \text{в) }\frac{\pi}{2};\quad \text{г) }-\frac{\pi}{12} } \]

Конечно. Разберём номер 127 медленно.

Главное: \(\arccos a\) и \(\arcsin a\) — это углы, а не значения косинуса или синуса.

• \(\arccos a\) — это угол из промежутка \([0;\pi]\), косинус которого равен \(a\).
• \(\arcsin a\) — это угол из промежутка \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\), синус которого равен \(a\).

Поэтому, например, \(\arccos(-0{,}5)\) — это не просто «угол, у которого косинус \(-0{,}5\)», а именно угол от \(0\) до \(\pi\). Такой угол — \(\frac{2\pi}{3}\), потому что \[ \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12. \]

---

а) \(\arccos(-0{,}5)+\arcsin(-0{,}5)\)

Сначала по отдельности:

\[ \arccos(-0{,}5)=\frac{2\pi}{3} \]

Почему? Потому что \(\cos\frac{2\pi}{3}=-0{,}5\), и этот угол лежит в \([0;\pi]\).

\[ \arcsin(-0{,}5)=-\frac{\pi}{6} \]

Почему? Потому что \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-0{,}5\), и этот угол лежит в \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\).

Складываем:

\[ \frac{2\pi}{3}+\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{4\pi}{6}-\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}. \]

Ответ: \(\boxed{\frac{\pi}{2}}\).

---

б) \(\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-\arcsin(-1)\)

\[ \arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4} \]

Потому что \(\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}\), а \(\frac{3\pi}{4}\) лежит в \([0;\pi]\).

\[ \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2} \]

Потому что \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\).

Теперь важно: в примере стоит минус перед \(\arcsin(-1)\):

\[ \frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}. \]

Приводим к общему знаменателю:

\[ \frac{3\pi}{4}+\frac{2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}. \]

Ответ: \(\boxed{\frac{5\pi}{4}}\).

---

в) \(\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\)

\[ \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6} \]

Потому что \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}\).

\[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3} \]

Потому что \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Складываем:

\[ \frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}-\frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}. \]

Ответ: \(\boxed{\frac{\pi}{2}}\).

---

г) \(\arccos\frac{\sqrt2}{2}-\arcsin\frac{\sqrt3}{2}\)

\[ \arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4} \]

Потому что \(\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\).

\[ \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3} \]

Потому что \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\).

Вычитаем:

\[ \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12}-\frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}. \]

Ответ: \(\boxed{-\frac{\pi}{12}}\).

---

Как запомнить

Можно пользоваться правилами:

\[ \arccos(-a)=\pi-\arccos a \]

\[ \arcsin(-a)=-\arcsin a \]

То есть у арккосинуса минус «убирается» через \(\pi\), потому что его ответ должен быть от \(0\) до \(\pi\). А у арксинуса минус просто выносится вперёд.

Итог номера 127

\[ \boxed{ \text{а) }\frac{\pi}{2};\quad \text{б) }\frac{5\pi}{4};\quad \text{в) }\frac{\pi}{2};\quad \text{г) }-\frac{\pi}{12} } \]

В градусах:

\[ \boxed{ \text{а) }90^\circ;\quad \text{б) }225^\circ;\quad \text{в) }90^\circ;\quad \text{г) }-15^\circ } \]

Если хочешь, могу отдельно объяснить на круге, почему \(\arccos(-0{,}5)=\frac{2\pi}{3}\), а не \(-\frac{\pi}{3}\).

Ответы к № 127:

\[ \boxed{\text{а) }\frac{\pi}{2};\quad \text{б) }\frac{5\pi}{4};\quad \text{в) }\frac{\pi}{2};\quad \text{г) }-\frac{\pi}{12}} \]

В градусах:

\[ \boxed{\text{а) }90^\circ;\quad \text{б) }225^\circ;\quad \text{в) }90^\circ;\quad \text{г) }-15^\circ} \]

Вот № 127 вместе с условием и ответами:

127. Вычислите:

а) \(\arccos(-0{,}5)+\arcsin(-0{,}5)\)
б) \(\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-\arcsin(-1)\)
в) \(\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\)
г) \(\arccos\frac{\sqrt2}{2}-\arcsin\frac{\sqrt3}{2}\)

Ответы:

\[ \boxed{\text{а) }\frac{\pi}{2};\quad \text{б) }\frac{5\pi}{4};\quad \text{в) }\frac{\pi}{2};\quad \text{г) }-\frac{\pi}{12}} \]

В градусах:

\[ \boxed{\text{а) }90^\circ;\quad \text{б) }225^\circ;\quad \text{в) }90^\circ;\quad \text{г) }-15^\circ} \]

а) \(\frac{\pi}{2}\) (\(90^\circ\))

б) \(\frac{5\pi}{4}\) (\(225^\circ\))

в) \(\frac{\pi}{2}\) (\(90^\circ\))

г) \(-\frac{\pi}{12}\) (\(-15^\circ\))

№ 127. Вычислите:

\[ \text{а) }\arccos(-0{,}5)+\arcsin(-0{,}5) \] \[ \text{б) }\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)-\arcsin(-1) \] \[ \text{в) }\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) \] \[ \text{г) }\arccos\frac{\sqrt2}{2}-\arcsin\frac{\sqrt3}{2} \]

Решение

а)
\[ \arccos(-0{,}5)=\frac{2\pi}{3},\qquad \arcsin(-0{,}5)=-\frac{\pi}{6} \] \[ \frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6} =\frac{4\pi}{6}-\frac{\pi}{6} =\frac{3\pi}{6} =\frac{\pi}{2} \]

б)
\[ \arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4},\qquad \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2} \] \[ \frac{3\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{2}\right) =\frac{3\pi}{4}+\frac{2\pi}{4} =\frac{5\pi}{4} \]

в)
\[ \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6},\qquad \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3} \] \[ \frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3} =\frac{5\pi}{6}-\frac{2\pi}{6} =\frac{3\pi}{6} =\frac{\pi}{2} \]

г)
\[ \arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},\qquad \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3} \] \[ \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} =\frac{3\pi}{12}-\frac{4\pi}{12} =-\frac{\pi}{12} \]

Ответ

\[ \boxed{\text{а) }\frac{\pi}{2};\quad \text{б) }\frac{5\pi}{4};\quad \text{в) }\frac{\pi}{2};\quad \text{г) }-\frac{\pi}{12}} \]

В градусах:

\[ \boxed{\text{а) }90^\circ;\quad \text{б) }225^\circ;\quad \text{в) }90^\circ;\quad \text{г) }-15^\circ} \]

Да, всё правильно. ✅

Проверка по значениям:

• \(\arccos(-0{,}5)=\frac{2\pi}{3}\), \(\arcsin(-0{,}5)=-\frac{\pi}{6}\)
  → \(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)

• \(\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4}\), \(\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}\)
  → \(\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{4}\)

• \(\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}\), \(\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}\)
  → \(\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)

• \(\arccos\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}\), \(\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}\)
  → \(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{12}\)

Ответы верные:

\[ \boxed{\text{а) }\frac{\pi}{2};\quad \text{б) }\frac{5\pi}{4};\quad \text{в) }\frac{\pi}{2};\quad \text{г) }-\frac{\pi}{12}} \]

В градусах: \(90^\circ,\ 225^\circ,\ 90^\circ,\ -15^\circ\).

Ответ к № 128:

\[ \boxed{\text{а) }-\frac{\pi}{12};\quad \text{б) }\frac{\pi}{2};\quad \text{в) }-\frac{\pi}{3};\quad \text{г) }\frac{\pi}{2}} \]

В градусах:

\[ \boxed{\text{а) }-15^\circ;\quad \text{б) }90^\circ;\quad \text{в) }-60^\circ;\quad \text{г) }90^\circ} \]

Решение

Используем табличные значения арктангенса:

\[ \arctg 1=\frac{\pi}{4},\qquad \arctg\sqrt3=\frac{\pi}{3}, \] \[ \arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},\qquad \arctg(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3}, \] \[ \arctg 0=0,\qquad \arctg\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\pi}{6}. \]

а) \[ \arctg 1-\arctg\sqrt3 =\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} =\frac{3\pi}{12}-\frac{4\pi}{12} =-\frac{\pi}{12}. \]

б) \[ \arctg 1-\arctg(-1) =\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}. \]

в) \[ \arctg(-\sqrt3)+\arctg 0 =-\frac{\pi}{3}+0 =-\frac{\pi}{3}. \]

г) \[ \arctg\frac{1}{\sqrt3}+\arctg\sqrt3 =\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3} =\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{6} =\frac{3\pi}{6} =\frac{\pi}{2}. \]

№ 128. Ответ:

\[ \boxed{\text{а) }-\frac{\pi}{12};\quad \text{б) }\frac{\pi}{2};\quad \text{в) }-\frac{\pi}{3};\quad \text{г) }\frac{\pi}{2}} \]

В градусах:

\[ \boxed{\text{а) }-15^\circ;\quad \text{б) }90^\circ;\quad \text{в) }-60^\circ;\quad \text{г) }90^\circ} \]

Решение

Используем таблицу значений арктангенса:

\[ \operatorname{arctg}1=\frac{\pi}{4},\qquad \operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}, \]

\[ \operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4},\qquad \operatorname{arctg}(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3}, \]

\[ \operatorname{arctg}0=0,\qquad \operatorname{arctg}\frac1{\sqrt3}=\frac{\pi}{6}. \]

а)

\[ \operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}\sqrt3 = \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12}-\frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}. \]

б)

\[ \operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}(-1) = \frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. \]

в)

\[ \operatorname{arctg}(-\sqrt3)+\operatorname{arctg}0 = -\frac{\pi}{3}+0 = -\frac{\pi}{3}. \]

г)

\[ \operatorname{arctg}\frac1{\sqrt3}+\operatorname{arctg}\sqrt3 = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}. \]

Значит:

\[ \boxed{\text{а) }-\frac{\pi}{12};\quad \text{б) }\frac{\pi}{2};\quad \text{в) }-\frac{\pi}{3};\quad \text{г) }\frac{\pi}{2}} \]

Понимаю, арктангенсы поначалу выглядят непонятно. В тетрадь можно написать вот так — этого достаточно.

Сначала маленькая шпаргалка:

\[ \operatorname{arctg} t — \text{угол, тангенс которого равен }t \]

Табличные значения:

\[ \operatorname{arctg}0=0,\quad \operatorname{arctg}1=\frac{\pi}{4},\quad \operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}, \]

\[ \operatorname{arctg}\frac1{\sqrt3}=\frac{\pi}{6},\quad \operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4},\quad \operatorname{arctg}(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3}. \]

Пиши в тетрадь:

№ 128

а)
\[ \operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}\sqrt3 = \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12}-\frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12} \]

б)
\[ \operatorname{arctg}1-\operatorname{arctg}(-1) = \frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \]

в)
\[ \operatorname{arctg}(-\sqrt3)+\operatorname{arctg}0 = -\frac{\pi}{3}+0 = -\frac{\pi}{3} \]

г)
\[ \operatorname{arctg}\frac1{\sqrt3}+\operatorname{arctg}\sqrt3 = \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \]

Ответ:
\[ \boxed{\text{а) }-\frac{\pi}{12};\quad \text{б) }\frac{\pi}{2};\quad \text{в) }-\frac{\pi}{3};\quad \text{г) }\frac{\pi}{2}} \]

В градусах:
\[ \boxed{45^\circ; \quad 90^\circ; \quad -60^\circ; \quad 90^\circ} \]

Только в ответе для пункта а будет \(-15^\circ\), а не \(45^\circ\). Вот правильная строка в градусах:
\[ \boxed{\text{а) }-15^\circ;\quad \text{б) }90^\circ;\quad \text{в) }-60^\circ;\quad \text{г) }90^\circ} \]

То есть в тетрадь пиши решения из блоков а–г и ответ.