Реши 1 вариант

Ниже — подробное решение варианта 1. Использую \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\). Основные формулы:

\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2},\qquad g=\frac{GM}{R^2}, \]

где \(r\) — расстояние между центрами тел.

---

1. Сила притяжения спутника к Земле

Дано:
\(m=83{,}6\) кг,
\(R=6{,}4\cdot10^6\) м,
\(h=300\) км \(=3{,}0\cdot10^5\) м,
\(g=9{,}8\) м/с².

На поверхности Земли

\[ F_0=mg \]

\[ F_0=83{,}6\cdot9{,}8\approx819\ \text{Н}. \]

То есть

\[ F_0\approx8{,}2\cdot10^2\ \text{Н}. \]

На орбите высотой \(h=300\) км

Расстояние от центра Земли:

\[ r=R+h=6{,}4\cdot10^6+3{,}0\cdot10^5 =6{,}7\cdot10^6\ \text{м}. \]

Ускорение свободного падения на высоте \(h\):

\[ g_h=g\left(\frac{R}{r}\right)^2. \]

Значит,

\[ F_h=mg_h =mg\left(\frac{R}{R+h}\right)^2. \]

Подставляем:

\[ F_h=83{,}6\cdot9{,}8 \left(\frac{6{,}4}{6{,}7}\right)^2 \approx747\ \text{Н}. \]

То есть

\[ F_h\approx7{,}5\cdot10^2\ \text{Н}. \]

Ответ:
\[ F_{\text{пов}}\approx8{,}2\cdot10^2\ \text{Н},\qquad F_{\text{орб}}\approx7{,}5\cdot10^2\ \text{Н}. \]

Важно: на орбите наступает невесомость, но сила притяжения Земли не исчезает. Именно она удерживает спутник на орбите.

---

2. Сравнение сил притяжения между тремя шарами

Дано:
\(m_1=1\) кг, \(m_2=2\) кг, \(m_3=3\) кг;
\(r_{12}=3\) м, \(r_{13}=2\) м, \(r_{23}=4\) м.

Сила между двумя шарами:

\[ F_{ij}=G\frac{m_im_j}{r_{ij}^2}. \]

Так как \(G\) одинаково для всех пар, сравниваем величины

\[ \frac{m_im_j}{r_{ij}^2}. \]

Между \(m_1\) и \(m_2\)

\[ F_{12}=G\frac{1\cdot2}{3^2} =G\frac{2}{9}. \]

\[ F_{12}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{2}{9} \approx1{,}48\cdot10^{-11}\ \text{Н}. \]

Между \(m_1\) и \(m_3\)

\[ F_{13}=G\frac{1\cdot3}{2^2} =G\frac{3}{4}. \]

\[ F_{13}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{3}{4} \approx5{,}00\cdot10^{-11}\ \text{Н}. \]

Между \(m_2\) и \(m_3\)

\[ F_{23}=G\frac{2\cdot3}{4^2} =G\frac{6}{16} =G\frac{3}{8}. \]

\[ F_{23}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{3}{8} \approx2{,}50\cdot10^{-11}\ \text{Н}. \]

Сравниваем:

\[ F_{13}>F_{23}>F_{12}. \]

Ответ:

• наибольшая сила — между \(m_1\) и \(m_3\);
• наименьшая сила — между \(m_1\) и \(m_2\).

---

3. Масса Солнца

Дано:
\(g_{\odot}=274\) м/с²,
\(R_{\odot}=7\cdot10^8\) м,
\(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\).

Ускорение свободного падения у поверхности Солнца:

\[ g_{\odot}=G\frac{M_{\odot}}{R_{\odot}^2}. \]

Выражаем массу:

\[ M_{\odot}=\frac{g_{\odot}R_{\odot}^2}{G}. \]

Подставляем:

\[ M_{\odot} = \frac{274\cdot(7\cdot10^8)^2} {6{,}67\cdot10^{-11}}. \]

Считаем числитель:

\[ (7\cdot10^8)^2=49\cdot10^{16}=4{,}9\cdot10^{17}. \]

\[ 274\cdot4{,}9\cdot10^{17} =1{,}3426\cdot10^{20}. \]

Тогда

\[ M_{\odot} = \frac{1{,}3426\cdot10^{20}} {6{,}67\cdot10^{-11}} \approx2{,}01\cdot10^{30}\ \text{кг}. \]

Ответ:

\[ M_{\odot}\approx2{,}0\cdot10^{30}\ \text{кг}. \]

---

4. Ускорение свободного падения на Луне

Дано:
\(M_{\text{Л}}=0{,}074\cdot10^{24}\) кг \(=7{,}4\cdot10^{22}\) кг,
\(R_{\text{Л}}=1{,}74\cdot10^6\) м.

Формула:

\[ g_{\text{Л}}=G\frac{M_{\text{Л}}}{R_{\text{Л}}^2}. \]

Подставляем:

\[ g_{\text{Л}} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}4\cdot10^{22}} {(1{,}74\cdot10^6)^2}. \]

Считаем:

\[ 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}4\cdot10^{22} \approx4{,}94\cdot10^{12}, \]

\[ (1{,}74\cdot10^6)^2 =3{,}0276\cdot10^{12}. \]

Тогда

\[ g_{\text{Л}} = \frac{4{,}94\cdot10^{12}} {3{,}03\cdot10^{12}} \approx1{,}63\ \text{м/с}^2. \]

Ответ:

\[ g_{\text{Л}}\approx1{,}6\ \text{м/с}^2. \]

Это примерно в \(6\) раз меньше земного ускорения \(9{,}8\) м/с².

---

Итоговые ответы

1. \[ F_{\text{пов}}\approx8{,}2\cdot10^2\ \text{Н},\qquad F_{\text{орб}}\approx7{,}5\cdot10^2\ \text{Н}. \]

2. Наибольшая сила — между \(m_1\) и \(m_3\); наименьшая — между \(m_1\) и \(m_2\).

3. \[ M_{\odot}\approx2{,}0\cdot10^{30}\ \text{кг}. \]

4. \[ g_{\text{Л}}\approx1{,}6\ \text{м/с}^2. \]

Если в вашем классе принимают \(g=10\) м/с², то в первой задаче получатся примерно \(836\) Н на поверхности и \(763\) Н на орбите.