найди наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел по их разложению на простые множители а = 2^3 x 3² x 5 x 7 b = 2² x 5³ x 7
Ответ:
\[
\text{НОД}(a,b)=140,\qquad \text{НОК}(a,b)=63\,000.
\]
Как это находится
Даны разложения: \[ a=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7, \] \[ b=2^2\cdot 5^3\cdot 7. \] Если какого-то простого множителя в числе нет, его степень считаем равной \(0\). Например, у числа \(b\) нет множителя \(3\), значит, \(3^0\).
1. НОД — берём каждый общий простой множитель в наименьшей степени: \[ 2^{\min(3,2)}=2^2, \] \[ 3^{\min(2,0)}=3^0=1, \] \[ 5^{\min(1,3)}=5^1, \] \[ 7^{\min(1,1)}=7^1. \] Значит: \[ \text{НОД}=2^2\cdot 5\cdot 7=4\cdot 5\cdot 7=140. \]
2. НОК — берём все простые множители, которые встречаются, в наибольшей степени: \[ 2^{\max(3,2)}=2^3, \] \[ 3^{\max(2,0)}=3^2, \] \[ 5^{\max(1,3)}=5^3, \] \[ 7^{\max(1,1)}=7^1. \] Значит: \[ \text{НОК}=2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\cdot 7. \] Считаем: \[ 8\cdot 9\cdot 125\cdot 7=63\,000. \]
Проверка
\[ a=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2520, \] \[ b=2^2\cdot 5^3\cdot 7=3500. \] Для двух чисел: \[ \text{НОД}\cdot \text{НОК}=a\cdot b. \] Проверяем: \[ 140\cdot 63\,000=8\,820\,000, \] \[ 2520\cdot 3500=8\,820\,000. \] Всё сходится.
