найди наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел по их разложению на простые множители а равняется два в третьей степени умножить на три во второй степени умножить…
Найди наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел по их разложению на простые множители а равняется два в третьей степени умножить на три во второй степени умножить на 5 x 7 b = 2² x 5³ x 7³
Кратко:
\[
a=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7,\qquad
b=2^2\cdot5^3\cdot7^3
\]
\[
\boxed{\text{НОД}(a,b)=140}
\]
\[
\boxed{\text{НОК}(a,b)=3\,087\,000}
\]
Как это понять
Для каждого простого множителя сравниваем степени.
| Множитель | В \(a\) | В \(b\) | Для НОД берём меньшую | Для НОК берём большую |
|---|---|---|---|---|
| \(2\) | \(2^3\) | \(2^2\) | \(2^2\) | \(2^3\) |
| \(3\) | \(3^2\) | нет | не входит | \(3^2\) |
| \(5\) | \(5^1\) | \(5^3\) | \(5^1\) | \(5^3\) |
| \(7\) | \(7^1\) | \(7^3\) | \(7^1\) | \(7^3\) |
НОД — общие простые множители с наименьшими степенями: \[ \text{НОД}=2^2\cdot5\cdot7=4\cdot5\cdot7=140. \]
НОК — все простые множители с наибольшими степенями: \[ \text{НОК}=2^3\cdot3^2\cdot5^3\cdot7^3. \] Считаем: \[ 2^3=8,\quad 3^2=9,\quad 5^3=125,\quad 7^3=343, \] \[ 8\cdot9\cdot125\cdot343=3\,087\,000. \]
Проверка:
\[
a=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520,
\]
\[
b=2^2\cdot5^3\cdot7^3=171\,500.
\]
Используем свойство:
\[
\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b)=a\cdot b.
\]
\[
140\cdot3\,087\,000=432\,180\,000,
\]
\[
2520\cdot171\,500=432\,180\,000.
\]
Значения совпали, значит ответ верный.
Обсуждение
4 сообщенияОбъясни более подробно
Разберём подробно, шаг за шагом.
1. Что дано
\[ a=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 \]
\[ b=2^2\cdot 5^3\cdot 7^3 \]
Здесь числа уже разложены на простые множители. Например, \(5=5^1\), \(7=7^1\). Если какого-то простого множителя в числе нет, считаем его степень равной нулю. Например, в числе \(b\) нет множителя \(3\), значит, его степень равна \(3^0\).
2. Как находить НОД и НОК по разложению
Пусть есть два числа.
- НОД — наибольший общий делитель. Он должен делить оба числа. Поэтому для каждого простого множителя берём наименьшую степень.
- НОК — наименьшее общее кратное. Оно должно делиться на оба числа. Поэтому для каждого простого множителя берём наибольшую степень.
Заполним таблицу:
| Простой множитель | В числе \(a\) | В числе \(b\) | Для НОД | Для НОК |
|---|---|---|---|---|
| \(2\) | \(2^3\) | \(2^2\) | \(2^2\) | \(2^3\) |
| \(3\) | \(3^2\) | нет, то есть \(3^0\) | \(3^0\), не входит | \(3^2\) |
| \(5\) | \(5^1\) | \(5^3\) | \(5^1\) | \(5^3\) |
| \(7\) | \(7^1\) | \(7^3\) | \(7^1\) | \(7^3\) |
3. Находим НОД
Для НОД берём общие простые множители с наименьшими степенями:
\[ \text{НОД}(a,b)=2^2\cdot 5^1\cdot 7^1 \]
Множитель \(3\) не входит, потому что число \(b\) на \(3\) не делится.
Считаем:
\[ 2^2=4 \]
\[ \text{НОД}=4\cdot 5\cdot 7=20\cdot 7=140 \]
Значит,
\[ \boxed{\text{НОД}(a,b)=140} \]
Проверим, что \(140\) действительно делит оба числа:
\[ a=2520,\qquad 2520:140=18 \]
\[ b=171\,500,\qquad 171\,500:140=1225 \]
Оба результата — целые числа.
4. Находим НОК
Для НОК берём каждый простой множитель с наибольшей степенью:
\[ \text{НОК}(a,b)=2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\cdot 7^3 \]
Теперь посчитаем:
\[ 2^3=8 \]
\[ 3^2=9 \]
\[ 5^3=125 \]
\[ 7^3=343 \]
Сначала удобно перемножить:
\[ 8\cdot 125=1000 \]
\[ 9\cdot 343=3087 \]
Тогда:
\[ \text{НОК}=1000\cdot 3087=3\,087\,000 \]
Значит,
\[ \boxed{\text{НОК}(a,b)=3\,087\,000} \]
5. Проверка
Найдём сами числа:
\[ a=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=8\cdot 9\cdot 5\cdot 7 \]
\[ a=72\cdot 35=2520 \]
\[ b=2^2\cdot 5^3\cdot 7^3=4\cdot 125\cdot 343 \]
\[ b=500\cdot 343=171\,500 \]
Есть свойство:
\[ \text{НОД}(a,b)\cdot \text{НОК}(a,b)=a\cdot b \]
Проверяем:
\[ 140\cdot 3\,087\,000=432\,180\,000 \]
\[ 2520\cdot 171\,500=432\,180\,000 \]
Обе части равны, значит, всё найдено верно.
Ответ
\[ \boxed{\text{НОД}(a,b)=140} \]
\[ \boxed{\text{НОК}(a,b)=3\,087\,000} \]
Главное правило: для НОД берём общие простые множители с меньшими степенями, а для НОК — все встречающиеся простые множители с большими степенями.
Объясни ещё более подробно для особо тупых
Не буду называть тебя «тупым»: здесь действительно легко запутаться из-за степеней и новых слов. Разберём совсем с нуля.
1. Сначала — что означают записи
\[ 2^3 \] означает «два умножить само на себя три раза»:
\[ 2^3=2\cdot2\cdot2=8 \]
\[ 3^2=3\cdot3=9 \]
\[ 5=5^1,\qquad 7=7^1 \]
То есть маленькая цифра сверху показывает, сколько раз берём число.
2. Что дано
\[ a=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7 \]
\[ b=2^2\cdot5^3\cdot7^3 \]
Если расписать полностью:
\[ a=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7 \]
\[ b=2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdot7 \]
Видно, что:
- в \(a\) три двойки, две тройки, одна пятёрка, одна семёрка;
- в \(b\) две двойки, три пятёрки, три семёрки;
- тройки в \(b\) нет вообще.
3. Что такое НОД
НОД — наибольший общий делитель.
Делитель — это число, на которое число делится без остатка.
«Общий» значит: подходит и для \(a\), и для \(b\).
«Наибольший» — самый большой из таких подходящих.
Чтобы число было делителем и \(a\), и \(b\), оно может использовать только те простые множители, которые есть в обоих числах. А степень каждого множителя должна быть не больше меньшей.
Смотрим по множителям:
\(2\): в \(a\) степень \(3\), в \(b\) степень \(2\).
Чтобы делить оба числа, можно взять не более двух двоек. Значит, для НОД берём \(2^2\).\(3\): в \(a\) есть, в \(b\) нет.
Если взять тройку, число уже не разделится на \(b\). Поэтому тройку в НОД не берём.\(5\): в \(a\) степень \(1\), в \(b\) степень \(3\).
Для НОД берём меньшую степень: \(5^1=5\).\(7\): в \(a\) степень \(1\), в \(b\) степень \(3\).
Для НОД берём \(7^1=7\).
Получаем:
\[ \text{НОД}(a,b)=2^2\cdot5\cdot7 \]
Считаем:
\[ 2^2=4 \]
\[ 4\cdot5=20 \]
\[ 20\cdot7=140 \]
Значит:
\[ \boxed{\text{НОД}(a,b)=140} \]
Проверка НОД
Посчитаем сами числа:
\[ a=8\cdot9\cdot5\cdot7 \]
\[ a=72\cdot35=2520 \]
\[ b=4\cdot125\cdot343 \]
\[ b=500\cdot343=171\,500 \]
Делим:
\[ 2520:140=18 \]
\[ 171\,500:140=1225 \]
Оба делятся без остатка. Значит, \(140\) — общий делитель.
4. Что такое НОК
НОК — наименьшее общее кратное.
Кратное — это число, которое делится на данное.
«Общее» значит: должно делиться и на \(a\), и на \(b\).
«Наименьшее» — самое маленькое из подходящих.
Чтобы число делилось и на \(a\), и на \(b\), в нём должны быть все простые множители, которые встречаются хоть где-то. Причём каждый множитель надо взять в наибольшей степени.
Смотрим:
\(2\): наибольшая степень — \(2^3\).
Если взять только \(2^2\), то число может не разделиться на \(a\), потому что в \(a\) три двойки.\(3\): есть только в \(a\), степень \(3^2\).
Но для НОК её обязательно берём, иначе НОК не разделится на \(a\).\(5\): наибольшая степень — \(5^3\).
\(7\): наибольшая степень — \(7^3\).
Получаем:
\[ \text{НОК}(a,b)=2^3\cdot3^2\cdot5^3\cdot7^3 \]
Считаем:
\[ 2^3=8 \]
\[ 3^2=9 \]
\[ 5^3=125 \]
\[ 7^3=343 \]
Теперь перемножаем. Удобно так:
\[ 8\cdot125=1000 \]
\[ 9\cdot343=3087 \]
\[ 1000\cdot3087=3\,087\,000 \]
Значит:
\[ \boxed{\text{НОК}(a,b)=3\,087\,000} \]
5. Проверка НОК
Проверим, делится ли найденное НОК на \(a\) и на \(b\):
\[ 3\,087\,000:2520=1225 \]
\[ 3\,087\,000:171\,500=18 \]
Оба раза получились целые числа. Значит, НОК подходит.
Есть ещё удобное свойство:
\[ \text{НОД}\cdot\text{НОК}=a\cdot b \]
Проверяем:
\[ 140\cdot3\,087\,000=432\,180\,000 \]
\[ 2520\cdot171\,500=432\,180\,000 \]
Совпало. Всё верно.
6. Самое главное — запомни правило
\[ \text{НОД}:\quad \text{общие множители с меньшими степенями} \]
\[ \text{НОК}:\quad \text{все множители с большими степенями} \]
Или совсем коротко:
- НОД — берём то, что есть у обоих, и не больше, чем можно.
- НОК — берём всё, что нужно, чтобы покрыть оба числа.
Ответ
\[ \boxed{\text{НОД}(a,b)=140} \]
\[ \boxed{\text{НОК}(a,b)=3\,087\,000} \]
Если хочешь, следующим шагом можем решить похожий пример вместе, чтобы ты сам попробовал применить это правило.
