Реши подробно
Сначала — краткие ответы. Верхнюю строку 1233 а) на фото видно не полностью; читаю её как стандартную \( \frac{a^{3/2}-8}{a^{1/2}-2}\).
Кратко
- 1233.
а) \(a+2\sqrt a+4\);
б) \(\dfrac1{\sqrt a+\sqrt b}\);
в) \(\dfrac1{\sqrt p+5}\);
г) \(\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}\). - 1234. а) \(\dfrac1{\sqrt c-\sqrt d}\).
- 1235.
а) \(c+1\);
б) \(\sqrt m+\sqrt[3]{m^2}\);
в) \(x+y\);
г) \(-2\sqrt[4]{bc}\). - 1236.
а) \(4\sqrt[3]{ab}\);
б) \(a^3+25a\).
Как это получается
Главные формулы:
\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y), \] \[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), \] \[ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). \]
Также используем \(a^{r+s}=a^r a^s\) и \((a^r)^s=a^{rs}\).
1233
а)
\[
a^{3/2}=(a^{1/2})^3,\qquad 8=2^3.
\]
Обозначим \(x=a^{1/2}\). Тогда
\[
\frac{x^3-2^3}{x-2}
=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2}
=x^2+2x+4.
\]
Возвращаемся к \(a\):
\[
\boxed{a+2a^{1/2}+4}.
\]
То есть \(\boxed{a+2\sqrt a+4}\).
б)
\[
a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2
=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b).
\]
Поэтому
\[
\frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}
=\frac{\sqrt a-\sqrt b}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}
=\boxed{\frac1{\sqrt a+\sqrt b}}.
\]
в)
\[
p-25=(\sqrt p)^2-5^2
=(\sqrt p-5)(\sqrt p+5).
\]
Значит,
\[
\frac{\sqrt p-5}{p-25}
=\frac{\sqrt p-5}{(\sqrt p-5)(\sqrt p+5)}
=\boxed{\frac1{\sqrt p+5}}.
\]
г)
\[
m+n=(\sqrt[3]m)^3+(\sqrt[3]n)^3
=(\sqrt[3]m+\sqrt[3]n)(m^{2/3}-m^{1/3}n^{1/3}+n^{2/3}).
\]
Сокращаем на знаменатель:
\[
\boxed{\sqrt[3]m+\sqrt[3]n}.
\]
1234. а)
Обозначим \(x=\sqrt c,\ y=\sqrt d\). Тогда \[ c=x^2,\quad d=y^2,\quad c^{3/2}=x^3,\quad d^{3/2}=y^3. \] Получаем: \[ \frac{x^2+xy+y^2}{x^3-y^3} =\frac{x^2+xy+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} =\frac1{x-y}. \] Ответ: \[ \boxed{\frac1{\sqrt c-\sqrt d}}. \]
1235
а)
\[
(1+\sqrt c)^2-2\sqrt c
=1+2\sqrt c+c-2\sqrt c
=\boxed{c+1}.
\]
б)
\[
\left(m^{1/4}-m^{1/3}\right)^2
=m^{1/2}-2m^{1/4+1/3}+m^{2/3}.
\]
Так как
\[
\frac14+\frac13=\frac3{12}+\frac4{12}=\frac7{12},
\]
то
\[
m^{1/2}-2m^{7/12}+m^{2/3}+2m^{7/12}
=\boxed{m^{1/2}+m^{2/3}}.
\]
То есть \(\boxed{\sqrt m+\sqrt[3]{m^2}}\).
в)
\[
\left(x^{1/2}-y^{1/2}\right)^2+2x^{1/2}y^{1/2}
=x-2x^{1/2}y^{1/2}+y+2x^{1/2}y^{1/2}
=\boxed{x+y}.
\]
г)
\[
\sqrt b+\sqrt c-\left(b^{1/4}+c^{1/4}\right)^2
=b^{1/2}+c^{1/2}-\left(b^{1/2}+2b^{1/4}c^{1/4}+c^{1/2}\right).
\]
Слагаемые \(b^{1/2}\) и \(c^{1/2}\) сокращаются:
\[
\boxed{-2b^{1/4}c^{1/4}}
\]
или \(\boxed{-2\sqrt[4]{bc}}\).
1236
а)
\[
\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right)^2-\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)^2.
\]
Это разность квадратов:
\[
\left(2b^{1/3}\right)\left(2a^{1/3}\right)
=\boxed{4a^{1/3}b^{1/3}}.
\]
То есть \(\boxed{4\sqrt[3]{ab}}\).
б)
\[
\left(a^{3/2}+5a^{1/2}\right)^2-10a^2
=a^3+2\cdot a^{3/2}\cdot5a^{1/2}+25a-10a^2.
\]
Так как \(a^{3/2}\cdot a^{1/2}=a^2\), получаем:
\[
a^3+10a^2+25a-10a^2
=\boxed{a^3+25a}.
\]
Быстрая проверка
- В 1233 а) при \(a=9\):
\[ \frac{27-8}{3-2}=19,\qquad 9+2\cdot3+4=19. \] - В 1234 при \(c=4,\ d=1\):
\[ \frac{4+2+1}{8-1}=1,\qquad \frac1{2-1}=1. \]
Везде подразумеваются допустимые значения переменных: подкоренные выражения неотрицательны, знаменатели не равны нулю. В частности, в 1233 а) \(a\ne4\), в 1233 б) \(a\ne b\), в 1233 в) \(p\ne25\), в 1234 \(c\ne d\).
