Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ
$x_1 = 2,\quad x_2 = 3$ (или наоборот — порядок не важен).
Ключевые шаги
Способ 1. Через дискриминант (универсальный, работает всегда)
Для уравнения $ax^2+bx+c=0$ здесь $a=1,\ b=-5,\ c=6$.
- Дискриминант: $$D = b^2-4ac = (-5)^2-4\cdot 1\cdot 6 = 25-24 = 1$$
- $D>0$ — значит, два разных корня: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2}$$
- Считаем: $$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$
Способ 2. Через теорему Виета (быстро, когда $a=1$ и корни целые)
Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$: $$x_1+x_2=-p=5,\qquad x_1\cdot x_2=q=6$$ Ищем два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.
Проверка
Подставим $x=2$: $4-10+6=0$ ✔ Подставим $x=3$: $9-15+6=0$ ✔
Ещё можно разложить на множители: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, и произведение равно нулю, когда нулю равен один из множителей.
Как действовать в похожем задании
- Выпиши $a$, $b$, $c$ (следи за знаками: при вычитании $b$ отрицательное!).
- Найди $D=b^2-4ac$.
- Если $D>0$ — два корня по формуле, если $D=0$ — один корень $x=-\frac{b}{2a}$, если $D<0$ — корней нет.
- Если $a=1$, сначала попробуй Виета — часто быстрее.
- Всегда подставляй корни обратно: это ловит ошибки в знаках.
Обсуждение
2 сообщенияА что делать, если дискриминант отрицательный?
Краткий ответ
Если $D<0$, то действительных корней нет: уравнение не имеет решения на множестве действительных чисел. Писать «$x=0$» или «нет корней, потому что так получилось» нельзя — нужно показать причину.
Почему так
Формула корней содержит $\sqrt{D}$: $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$
А квадратный корень из отрицательного числа среди действительных чисел не существует: нет такого действительного числа, квадрат которого отрицателен ($t^2\ge 0$ всегда). Значит, вычислить корень по формуле невозможно — отсюда и вывод «действительных корней нет».
Геометрически: график $y=ax^2+bx+c$ — парабола. При $D<0$ она **не пересекает ось $Ox$** (лежит целиком выше неё при $a>0$ или целиком ниже при $a<0$). Корни — это как раз точки пересечения с осью $Ox$.
Пример
$$x^2-2x+5=0$$ $$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot5=4-20=-16<0$$
Корней нет. Проверим выделением полного квадрата: $$x^2-2x+5=(x-1)^2+4$$
Квадрат всегда $\ge 0$, значит вся сумма $\ge 4>0$ — нулю не равна ни при каком $x$. Видно и подтверждение.
Как оформлять в ответе
Пиши коротко и по делу:
$D=-16<0$, следовательно, действительных корней нет.
Иногда в старших классах вводят комплексные числа, и тогда корни записывают через $i$ (где $i^2=-1$). Но если в задании не сказано «в комплексных числах» — ответ «корней нет».
Мини-проверка понимания
Реши сам: $2x^2+x+3=0$. Подсказка к самопроверке: $D=1-24=-23<0$ → действительных корней нет. Если хочешь, пришли своё решение — проверю оформление.
