10 конугуу
Кыска жооп (10-конугуу)
| Теңдеме | Жообу | |
|---|---|---|
| а) | \(x^4-25x^2+144=0\) | \(x=\pm3;\ \pm4\) |
| б) | \(x^4-5x^2-36=0\) | \(x=\pm3\) |
| в) | \(4x^4-5x^2+1=0\) | \(x=\pm1;\ \pm\tfrac12\) |
| г) | \(9x^4-9x^2+2=0\) | \(x=\pm\tfrac{\sqrt6}{3};\ \pm\tfrac{\sqrt3}{3}\) |
| д) | \(x^4-4x^2+4=0\) | \(x=\pm\sqrt2\) |
| е) | \(y^4-6y^2+8=0\) | \(y=\pm\sqrt2;\ \pm2\) |
| ж) | \(t^4+10t^2+25=0\) | чыныгы тамыры жок |
| з) | \(5y^4-5y^2+2=0\) | чыныгы тамыры жок |
Принцип: биквадраттык теңдеме
\(ax^4+bx^2+c=0\) түрүндөгү теңдеме биквадраттык деп аталат. Мында \(x\) төртүнчү жана экинчи даражада гана кездешет.
Негизги идея — жаңы өзгөрмө киргизүү:
\[ x^2=t,\qquad t\ge 0 \]
\(t\ge0\) деп белгилөө милдеттүү: чыныгы сандын квадраты терс болбойт. Ошондо теңдеме кадимки квадраттык теңдемеге айланат:
\[ at^2+bt+c=0 \]
Аны чыгарып, \(t\) табабыз, анан ар бир \(t\ge0\) үчүн \(x=\pm\sqrt{t}\) деп кайтабыз.
а) Толук чыгаруу
\[ x^4-25x^2+144=0 \]
\(t=x^2\):
\[ t^2-25t+144=0 \]
Дискриминант: \(D=25^2-4\cdot144=625-576=49=7^2\).
\[ t_{1,2}=\frac{25\pm7}{2} \]
\(t_1=16\), \(t_2=9\) — экөө тең оң, анда:
- \(x^2=16 \Rightarrow x=\pm4\)
- \(x^2=9 \Rightarrow x=\pm3\)
Жообу: \(-4;\,-3;\,3;\,4\).
Эки маанилүү учур
1) Терс \(t\) ташталат (б пункту):
\[ t^2-5t-36=0,\quad D=169,\quad t=\frac{5\pm13}{2}=9;\ -4 \]
\(t=-4\) жараксыз, себеби \(x^2\ge0\). Калган \(x^2=9 \Rightarrow x=\pm3\).
2) \(D<0\) — чыныгы тамыр жок (ж, з пункттары):
- ж) \((t^2+5)^2=0 \Rightarrow t^2=-5\) — мүмкүн эмес;
- з) \(5t^2-5t+2=0,\ D=25-40=-15<0\).
3) Коэффициенти бар учур (в):
\[ 4t^2-5t+1=0,\quad D=9,\quad t=\frac{5\pm3}{8}=1;\ \tfrac14 \]
\[ x=\pm1,\quad x=\pm\tfrac12 \]
Текшерүү
а) үчүн \(x=3\): \(81-225+144=0\) ✓. Же Виет боюнча: \(16+9=25\), \(16\cdot9=144\) ✓.
д) пункту толук квадрат: \(x^4-4x^2+4=(x^2-2)^2=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2\) ✓.
Схеманы эсте сакта: алмаштыруу → квадраттык теңдеме → \(t\ge0\) текшерүү → \(x=\pm\sqrt{t}\).
Обсуждение
4 сообщенияЧыгаруусу менен иште
10-конугуу: толук чыгаруулар
Ар бир теңдеме үчүн бирдей план: алмаштыруу → квадраттык теңдеме → \(t\ge0\) текшерүү → кайта алмаштыруу.
а) \(x^4-25x^2+144=0\)
\(t=x^2,\ t\ge0\):
\[ t^2-25t+144=0,\qquad D=625-4\cdot144=625-576=49 \]
\[ t_{1,2}=\frac{25\pm7}{2}\ \Rightarrow\ t_1=16,\quad t_2=9 \]
Экөө тең оң, анда эки теңдеме чыгат:
\[ x^2=16\Rightarrow x=\pm4;\qquad x^2=9\Rightarrow x=\pm3 \]
Жообу: \(-4;\,-3;\,3;\,4\).
б) \(x^4-5x^2-36=0\)
\(t=x^2,\ t\ge0\):
\[ t^2-5t-36=0,\qquad D=25+144=169,\quad \sqrt{D}=13 \]
\[ t_{1,2}=\frac{5\pm13}{2}\ \Rightarrow\ t_1=9,\quad t_2=-4 \]
\(t_2=-4\) жараксыз, себеби \(x^2\ge0\) чыныгы сандарда терс болбойт. Калган:
\[ x^2=9\Rightarrow x=\pm3 \]
Жообу: \(-3;\,3\).
в) \(4x^4-5x^2+1=0\)
\(t=x^2,\ t\ge0\):
\[ 4t^2-5t+1=0,\qquad D=25-16=9,\quad \sqrt{D}=3 \]
\[ t_{1,2}=\frac{5\pm3}{8}\ \Rightarrow\ t_1=1,\quad t_2=\frac14 \]
Экөө тең оң:
\[ x^2=1\Rightarrow x=\pm1;\qquad x^2=\frac14\Rightarrow x=\pm\frac12 \]
Жообу: \(-1;\,-\tfrac12;\,\tfrac12;\,1\).
г) \(9x^4-9x^2+2=0\)
\(t=x^2,\ t\ge0\):
\[ 9t^2-9t+2=0,\qquad D=81-4\cdot9\cdot2=81-72=9 \]
\[ t_{1,2}=\frac{9\pm3}{18}\ \Rightarrow\ t_1=\frac{12}{18}=\frac23,\quad t_2=\frac{6}{18}=\frac13 \]
Кайта алмаштыруу (бөлчөмдүн астындагы \(3\)-төн кутулуу):
\[ x^2=\frac23\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt2}{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt6}{3};\qquad x^2=\frac13\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt3}=\pm\frac{\sqrt3}{3} \]
Жообу: \(\pm\dfrac{\sqrt6}{3};\ \pm\dfrac{\sqrt3}{3}\).
д) \(x^4-4x^2+4=0\)
Бул — толук квадрат, ошондуктан алмаштыруусуз эле чыгат:
\[ (x^2-2)^2=0\ \Rightarrow\ x^2-2=0\ \Rightarrow\ x^2=2 \]
\[ x=\pm\sqrt2 \]
Алмаштыруу менен да ушундай: \(t^2-4t+4=0\), \(D=0\), \(t=2\) (эки жолу кайталанат).
Жообу: \(\pm\sqrt2\).
е) \(y^4-6y^2+8=0\)
\(u=y^2,\ u\ge0\) (өзгөрмө \(y\) болгондуктан, тамганы башкача алдык):
\[ u^2-6u+8=0,\qquad D=36-32=4 \]
\[ u_{1,2}=\frac{6\pm2}{2}\ \Rightarrow\ u_1=4,\quad u_2=2 \]
\[ y^2=4\Rightarrow y=\pm2;\qquad y^2=2\Rightarrow y=\pm\sqrt2 \]
Жообу: \(\pm\sqrt2;\ \pm2\).
ж) \(t^4+10t^2+25=0\)
Бул жерде өзгөрмө — \(t\), ошондуктан \(u=t^2,\ u\ge0\):
\[ t^4+10t^2+25=(t^2+5)^2=0\ \Rightarrow\ t^2+5=0\ \Rightarrow\ t^2=-5 \]
Квадраты терс сан болбойт \(\Rightarrow\) чыныгы тамыры жок.
(Текшерүү: \(t^4\ge0,\ 10t^2\ge0,\ 25>0\), демек сумма дайыма \(>0\).)
Жообу: чыныгы тамыр жок.
з) \(5y^4-5y^2+2=0\)
\(u=y^2,\ u\ge0\):
\[ 5u^2-5u+2=0,\qquad D=25-4\cdot5\cdot2=25-40=-15<0 \]
\(D<0\) \(\Rightarrow\) квадраттык теңдеменин тамыры жок, демек берилген теңдеменин да чыныгы тамыры жок.
Жообу: чыныгы тамыр жок.
Жалпы жыйынтык
| Теңдеме | Тамырлар | |
|---|---|---|
| а) | \(x^4-25x^2+144=0\) | \(\pm3;\ \pm4\) |
| б) | \(x^4-5x^2-36=0\) | \(\pm3\) |
| в) | \(4x^4-5x^2+1=0\) | \(\pm1;\ \pm\tfrac12\) |
| г) | \(9x^4-9x^2+2=0\) | \(\pm\tfrac{\sqrt6}{3};\ \pm\tfrac{\sqrt3}{3}\) |
| д) | \(x^4-4x^2+4=0\) | \(\pm\sqrt2\) |
| е) | \(y^4-6y^2+8=0\) | \(\pm\sqrt2;\ \pm2\) |
| ж) | \(t^4+10t^2+25=0\) | жок |
| з) | \(5y^4-5y^2+2=0\) | жок |
Эсте сакта: тамырлардын санын алдын ала айтууга болот — ар бир оң \(t\) эки тамыр берет, терс \(t\) жана \(D<0\) учурлары тамыр бербейт. Ошондуктан биквадраттык теңдеменин чыныгы тамырларынын саны дайыма 0, 2 же 4 болот.
Тушундурмосу жок
10-конугуу: чыгаруулар (түшүндүрмөсүз)
а) \(x^4-25x^2+144=0\) \[ t=x^2:\quad t^2-25t+144=0,\quad D=49,\quad t=16;\ 9 \] \[ x=\pm4;\quad x=\pm3 \] Жообу: \(-4;-3;3;4\).
б) \(x^4-5x^2-36=0\) \[ t^2-5t-36=0,\quad D=169,\quad t=9;\ -4\ (\text{жараксыз}) \] \[ x=\pm3 \] Жообу: \(-3;3\).
в) \(4x^4-5x^2+1=0\) \[ 4t^2-5t+1=0,\quad D=9,\quad t=1;\ \tfrac14 \] \[ x=\pm1;\quad x=\pm\tfrac12 \] Жообу: \(-1;-\tfrac12;\tfrac12;1\).
г) \(9x^4-9x^2+2=0\) \[ 9t^2-9t+2=0,\quad D=9,\quad t=\tfrac23;\ \tfrac13 \] \[ x=\pm\tfrac{\sqrt6}{3};\quad x=\pm\tfrac{\sqrt3}{3} \] Жообу: \(\pm\tfrac{\sqrt6}{3};\ \pm\tfrac{\sqrt3}{3}\).
д) \(x^4-4x^2+4=0\) \[ (x^2-2)^2=0,\quad x^2=2 \] Жообу: \(\pm\sqrt2\).
е) \(y^4-6y^2+8=0\) \[ u=y^2:\quad u^2-6u+8=0,\quad D=4,\quad u=4;\ 2 \] \[ y=\pm2;\quad y=\pm\sqrt2 \] Жообу: \(\pm\sqrt2;\ \pm2\).
ж) \(t^4+10t^2+25=0\) \[ (t^2+5)^2=0,\quad t^2=-5 \] Жообу: чыныгы тамыры жок.
з) \(5y^4-5y^2+2=0\) \[ 5u^2-5u+2=0,\quad D=-15<0 \] Жообу: чыныгы тамыры жок.
