348
Краткий ответ: \(AB=CD\).
Пусть \(P\) — вершина угла, а точки \(A\) и \(B\) лежат на одной его стороне, \(D\) и \(C\) — на другой.
Из точки \(P\) к первой окружности проведены две касательные \(PA\) и \(PD\). По свойству касательных, проведённых из одной точки: \[ PA=PD. \]
Аналогично для второй окружности: \[ PB=PC. \]
Если вторая окружность расположена дальше от вершины, то \[ AB=PB-PA,\qquad CD=PC-PD. \] Но \(PB=PC\) и \(PA=PD\), поэтому \[ AB=PC-PD=CD. \]
Если порядок точек другой, записываем длины через модули: \[ AB=|PB-PA|,\qquad CD=|PC-PD|, \] и равенство всё равно сохраняется.
Главная идея: из вершины угла к каждой окружности можно провести две равные касательные. Поэтому разность расстояний от вершины до точек касания двух окружностей на одной стороне угла равна такой же разности на другой стороне.
Проверка на числах: если \(PA=3\), \(PB=7\), то \(AB=4\). Тогда \(PD=3\), \(PC=7\), значит \(CD=7-3=4\). Всё сходится.
Обсуждение
2 сообщенияРисунок
Вот схема к задаче:
Обозначения: \(P\) — вершина угла; \(A,D\) — точки касания ближней окружности; \(B,C\) — дальней.
Из свойства касательных: \[ PA=PD,\qquad PB=PC. \] Поэтому \[ AB=PB-PA=PC-PD=CD. \]
