461

Дано: параллелограмм \(ABCD\), \(AB=12\) см, \(AD=14\) см, \(\angle A=30^\circ\).

Найти: \(S_{ABCD}\).

Решение:

1. Проведём высоту \(BH\) к стороне \(AD\).
2. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABH\): в нём гипотенуза \(AB=12\) см, \(\angle A=30^\circ\). Катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы: \[ BH=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\ \text{см}. \]
3. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней: \[ S=AD\cdot BH=14\cdot6=84\ \text{см}^2. \]

Ответ: \(84\ \text{см}^2\).

Проверка другим способом: \(S=AB\cdot AD\cdot\sin30^\circ=12\cdot14\cdot\dfrac12=84\ \text{см}^2\) — сходится.

Схема к задаче (масштаб не соблюдён):

                         B •───────────────• C
                          / |              /
                    12   /  |             /  12
                        /   | 6 см       /
                       /    |           /
                      /     |          /
                     A •────• H ───• D
                           ∠A = 30°

На рисунке:

• \(AD=14\) см — нижняя сторона;
• \(AB=12\) см — наклонная сторона;
• \(\angle A=30^\circ\);
• \(BH\perp AD\), \(BH=6\) см — высота;
• \(BC\parallel AD\), \(BC=14\) см;
• \(CD\parallel AB\), \(CD=12\) см.

Построение: отложи \(AD=14\) см горизонтально, из точки \(A\) под углом \(30^\circ\) к \(AD\) отложи \(AB=12\) см, затем проведи \(BC\parallel AD\) длиной \(14\) см и соедини \(C\) с \(D\). Опусти из \(B\) перпендикуляр \(BH\) на \(AD\).

Разберём задачу по смыслу.

Что известно: у параллелограмма две соседние стороны равны \(12\) см и \(14\) см, а угол между ними \(30^\circ\).

Что нужно найти: его площадь.

Главная идея

Площадь параллелограмма считается так же, как площадь прямоугольника:

\[ S=\text{основание}\cdot\text{высота} \]

Только высота — это перпендикулярное расстояние между параллельными сторонами, а не наклонная сторона.

Пусть основание:

\[ AD=14\text{ см} \]

Наклонная сторона:

\[ AB=12\text{ см} \]

Опустим из точки \(B\) высоту \(BH\) на основание \(AD\). Получится прямоугольный треугольник \(ABH\), в котором:

• \(AB=12\) см — гипотенуза;
• \(\angle A=30^\circ\);
• \(BH\) — катет, лежащий против угла \(30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы:

\[ BH=\frac{12}{2}=6\text{ см} \]

Теперь находим площадь:

\[ S=AD\cdot BH=14\cdot6=84\text{ см}^2 \]

Ответ: \(\boxed{84\text{ см}^2}\).

Можно проверить другой формулой:

\[ S=AB\cdot AD\cdot\sin30^\circ \]

\[ S=12\cdot14\cdot\frac12=84\text{ см}^2 \]

Обе записи дают один и тот же результат.

Уточни, пожалуйста: «на 4» — это решить проще, как на оценку 4, или решить задание №4? Пришли условие задания №4 или скажи «нужно проще» — и я оформлю решение.

Помогать скрывать списывание я не буду. Но могу помочь так, чтобы ты сам решил и смог объяснить учителю.

В этой задаче главное:

• угол \(30^\circ\);
• высота — катет против этого угла, значит \(h=\frac{12}{2}=6\) см;
• площадь \(S=14\cdot6=84\) см².

Попробуй сам сформулировать, почему высота равна половине \(AB\), — и решение станет твоим. Если хочешь, разберём по шагам.

Разберём так, чтобы каждый шаг был понятен.

1. Что дано

Параллелограмм \(ABCD\):

• \(AB=12\) см — наклонная сторона;
• \(AD=14\) см — основание;
• \(\angle A=30^\circ\).

Найти площадь \(S\).

2. Что нужно для площади

Площадь параллелограмма:

\[ S=\text{основание}\cdot\text{высота}. \]

Берём основание \(AD=14\) см. Но сторона \(AB\) — не высота: она идёт наклонно. Поэтому опускаем перпендикуляр из точки \(B\) на \(AD\). Пусть он пересекает \(AD\) в точке \(H\).

Тогда \(BH\) — высота.

3. Находим высоту

Рассмотрим треугольник \(ABH\):

• он прямоугольный, потому что \(BH\perp AD\);
• \(AB=12\) см — гипотенуза;
• \(\angle A=30^\circ\);
• \(BH\) лежит против угла \(30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы:

\[ BH=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}. \]

4. Считаем площадь

\[ S=AD\cdot BH=14\cdot6=84\text{ см}^2. \]

Ответ:

\[ \boxed{84\text{ см}^2} \]

5. Проверка

Можно взять за основание \(AB=12\) см. Тогда высота к ней равна \(14\cdot\sin30^\circ=7\) см, и

\[ S=12\cdot7=84\text{ см}^2. \]

Результат совпадает.

Главная мысль задачи: высоту параллелограмма нельзя путать с его наклонной стороной; сначала находим перпендикуляр, а потом умножаем основание на высоту.

В тетрадь оформляй кратко и по шаблону.

✅ Что писать в тетрадь

Дано:
\(ABCD\) — параллелограмм,
\(AB=12\) см, \(AD=14\) см,
\(\angle A=30^\circ\).

Найти:
\(S_{ABCD}\).

Рисунок:
нарисуй параллелограмм \(ABCD\), проведи высоту \(BH\perp AD\), подпиши \(AB=12\), \(AD=14\), \(\angle A=30^\circ\), прямой угол при \(H\).

Решение:

1. Проведём высоту \(BH\perp AD\).
2. В прямоугольном \(\triangle ABH\): \(\angle A=30^\circ\), \(AB=12\) см.
   Катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы:
   \[ BH=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ см}. \]
3. Площадь параллелограмма:
   \[ S=AD\cdot BH=14\cdot6=84\text{ см}^2. \]

Ответ: \(84\text{ см}^2\).

❌ Что не писать в тетрадь

• длинные рассуждения «что нужно для площади»;
• фразу «главная мысль задачи»;
• проверку вторым способом — её можно оставить на черновике;
• фразы вроде «масштаб не соблюдён», «разберём по шагам»;
• лишние объяснения своими словами.

В тетради достаточно «Дано — Найти — рисунок — короткое решение — Ответ».