Мисоли 116 ро мисли намунаи дафтар аз китоб ҳал кун
Ҷавобҳо (мисоли 116):
а) \(x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\)
б) \(x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty)\), яъне ҳамаи ададҳо ба ҷуз \(x=2\)
в) \(x\in(-\infty;-3)\cup[1;+\infty)\)
г) \(x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty)\)
ғ) \(x\in\left(-\infty;\frac15\right)\)
д) \(x\in(-\infty;40]\)
Принципи асосӣ — методи фосилаҳо
- Нобаробарӣ бояд ба шакли \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}>0\) (ё \(<0,\ \ge0,\ \le0\)) оварда шавад: ҳамаашро ба тарафи чап гузарон.
- Нулҳои сурат \(P(x)=0\) ва нулҳои махраҷ \(Q(x)=0\)-ро ёб.
- Нуқтаҳоро дар тири ададӣ қайд кун:
- нулҳои махраҷ ҳатман сӯрохӣ мешаванд — дар он ҷо каср маъно надорад;
- нулҳои сурат дар \(\ge\) ва \(\le\) пур мешаванд, дар \(>\) ва \(<\) сӯрохӣ.
- Дар ҳар як фосила аломати касрро муайян кун (як адади осонро гузор) ва фосилаҳои ба талабот ҷавобдиҳандаро интихоб кун.
Дар дафтар барои а) навишта шудааст \((x-1)(2x+4)>0\). Ин дуруст аст: аломати каср бо аломати ҳосили зарби сурат ва махраҷ як хел аст. Фарқ танҳо дар он аст, ки решаи махраҷ ҳатман хориҷ карда мешавад.
Ҳалли муфассал
а) \(\dfrac{x-1}{2x+4}>0\)
Нулҳо: \(x-1=0\Rightarrow x=1\); \(2x+4=0\Rightarrow x=-2\).
\(x=-2\) сӯрохӣ аст, чунки махраҷ ба нол баробар мешавад.
Аломатҳо: \(+,\ -,\ +\). Ба мо \(>0\) лозим, бинобар ин:
\[ x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty) \]
Ин дар дафтар дуруст ҳал шудааст.
б) \(\dfrac{x-2}{-3x+6}<0\)
Махраҷро таҳлил мекунем:
\[ -3x+6=-3(x-2) \]
Пас, дар ҷое, ки \(x\ne2\):
\[ \frac{x-2}{-3(x-2)}=-\frac13 \]
Яъне каср барои ҳамаи \(x\ne2\) ба \(-\frac13\) баробар аст ва ин ҳамеша \(<0\) аст. Нуқтаи \(x=2\) сӯрохӣ аст, чунки ҳам сурат ва ҳам махраҷ ба нол баробар мешаванд.
\[ x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty) \]
Ё худ: ҳамаи ададҳои ҳақиқӣ ба ҷуз \(2\).
в) \(\dfrac{x-1}{3x+9}\ge0\)
Нулҳо: \(x=1\) — нули сурат; \(3x+9=0\Rightarrow x=-3\) — нули махраҷ.
\(x=-3\) сӯрохӣ, \(x=1\) пур (чунки \(\ge0\)).
Аломатҳо: \(+,\ -,\ +\). Ба мо \(\ge0\) лозим:
\[ x\in(-\infty;-3)\cup[1;+\infty) \]
Дар \(x=1\) каср ба \(0\) баробар мешавад, бинобар ин қавс квадратӣ аст.
г) \(\dfrac{x-2}{3x-12}>0\)
Нулҳо: \(x=2\); \(3x-12=0\Rightarrow x=4\).
\(x=4\) сӯрохӣ. Аломатҳо: \(+,\ -,\ +\). Ба мо \(>0\) лозим:
\[ x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty) \]
ғ) \(\dfrac{13x-1}{2}<4x\)
Ҳар ду тарафро ба \(2\) зарб мекунем (адади мусбат, аломат тағйир намеёбад):
\[ 13x-1<8x \]
\[ 13x-8x<1 \]
\[ 5x<1 \]
\[ x<\frac15 \]
\[ x\in\left(-\infty;\frac15\right) \]
д) \(\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{5}\le2\)
Ба махраҷи умумӣ \(20\) меорем:
\[ \frac{5x-4x}{20}\le2 \]
\[ \frac{x}{20}\le2 \]
\[ x\le40 \]
\[ x\in(-\infty;40] \]
Санҷиш
- а) \(x=2\): \(\frac{1}{8}>0\) — дуруст; \(x=0\): \(-\frac14>0\) — нодуруст, яъне \(0\) ба ҷавоб намедарояд.
- б) \(x=0\): \(-\frac13<0\) — дуруст; \(x=3\): \(-\frac13<0\) — дуруст.
- в) \(x=2\): \(\frac{1}{15}\ge0\) — дуруст; \(x=-4\): \(\frac{-5}{-3}=\frac53>0\) — дуруст.
- г) \(x=5\): \(\frac{3}{3}=1>0\) — дуруст; \(x=3\): \(\frac{1}{-3}<0\) — нодуруст, \(3\) ба ҷавоб намедарояд.
- ғ) \(x=0\): \(-\frac12<0\) — дуруст; \(x=1\): \(6<4\) — нодуруст.
- д) \(x=40\): \(10-8=2\le2\) — дуруст; \(x=41\): \(10{,}25-8{,}2=2{,}05>2\) — нодуруст.
Хулоса: дар чунин мисолҳо аввал нулҳои сурат ва махраҷро ёб, баъд аломатро дар фосилаҳо тафтиш кун. Нули махраҷ ҳатман сӯрохӣ мешавад, ҳатто дар нобаробарии ғайриқатъӣ.
Обсуждение
2 сообщенияҲамаашро аломатҳояшро навис
Схемаҳои аломатҳо барои ҳар як мисол
Қоида: дар ҳар фосила як адади санҷишӣ мегирем, ба ифода мегузорем ва аломати натиҷаро менависем. Аломати каср = аломати сурат × аломати махраҷ.
а) \(\dfrac{x-1}{2x+4}>0\)
Нулҳо: \(x=1\) (сурат), \(x=-2\) (махраҷ, сӯрохӣ).
| Фосила | Нуқтаи санҷиш | Қимат | Аломат |
|---|---|---|---|
| \((-\infty;-2)\) | \(x=-3\) | \(\frac{-4}{-2}=2\) | \(+\) |
| \((-2;1)\) | \(x=0\) | \(\frac{-1}{4}\) | \(-\) |
| \((1;+\infty)\) | \(x=2\) | \(\frac{1}{8}\) | \(+\) |
Схема:
\[ +\quad\big|\,-2\,\big|\quad-\quad\big|\,1\,\big|\quad+ \]
Ба мо \(>0\) лозим → фосилаҳои «\(+\)»:
\[ x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty) \]
б) \(\dfrac{x-2}{-3x+6}<0\)
Махраҷ: \(-3x+6=-3(x-2)\). Як нули умумӣ: \(x=2\) (сӯрохӣ).
| Фосила | Нуқтаи санҷиш | Қимат | Аломат |
|---|---|---|---|
| \((-\infty;2)\) | \(x=0\) | \(\frac{-2}{6}=-\frac13\) | \(-\) |
| \((2;+\infty)\) | \(x=3\) | \(\frac{1}{-3}=-\frac13\) | \(-\) |
Схема:
\[ -\quad\big|\,2\,\big|\quad- \]
Аломат тағйир намеёбад, чунки реша дубора аст (ҳам дар сурат, ҳам дар махраҷ). Ҳар ду фосила ба \(<0\) мувофиқанд:
\[ x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty) \]
в) \(\dfrac{x-1}{3x+9}\ge0\)
Нулҳо: \(x=1\) (сурат), \(x=-3\) (махраҷ, сӯрохӣ).
| Фосила | Нуқтаи санҷиш | Қимат | Аломат |
|---|---|---|---|
| \((-\infty;-3)\) | \(x=-4\) | \(\frac{-5}{-3}=\frac53\) | \(+\) |
| \((-3;1)\) | \(x=0\) | \(\frac{-1}{9}\) | \(-\) |
| \((1;+\infty)\) | \(x=2\) | \(\frac{1}{15}\) | \(+\) |
Схема:
\[ +\quad\big|\,-3\,\big|\quad-\quad\big|\,1\,\big|\quad+ \]
Ба мо \(\ge0\) лозим: фосилаҳои «\(+\)» ва нуқтаи \(x=1\) (дар он ҷо каср \(=0\), қавси квадратӣ):
\[ x\in(-\infty;-3)\cup[1;+\infty) \]
г) \(\dfrac{x-2}{3x-12}>0\)
Нулҳо: \(x=2\) (сурат), \(x=4\) (махраҷ, сӯрохӣ).
| Фосила | Нуқтаи санҷиш | Қимат | Аломат |
|---|---|---|---|
| \((-\infty;2)\) | \(x=0\) | \(\frac{-2}{-12}=\frac16\) | \(+\) |
| \((2;4)\) | \(x=3\) | \(\frac{1}{-3}=-\frac13\) | \(-\) |
| \((4;+\infty)\) | \(x=5\) | \(\frac{3}{3}=1\) | \(+\) |
Схема:
\[ +\quad\big|\,2\,\big|\quad-\quad\big|\,4\,\big|\quad+ \]
Ба мо \(>0\) лозим:
\[ x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty) \]
ғ) \(\dfrac{13x-1}{2}<4x\)
Ба шакли \(5x-1<0\) меорем. Нули ифода: \(x=\frac15\).
| Фосила | Нуқтаи санҷиш | Қимати \(5x-1\) | Аломат |
|---|---|---|---|
| \(\left(-\infty;\frac15\right)\) | \(x=0\) | \(-1\) | \(-\) |
| \(\left(\frac15;+\infty\right)\) | \(x=1\) | \(4\) | \(+\) |
Схема:
\[ -\quad\Big|\,\tfrac15\,\Big|\quad+ \]
Ба мо \(<\) лозим:
\[ x\in\left(-\infty;\frac15\right) \]
д) \(\dfrac{x}{4}-\dfrac{x}{5}\le2\)
Ба шакли \(\dfrac{x}{20}\le2\), яъне \(x-40\le0\) меорем. Нули ифода: \(x=40\).
| Фосила | Нуқтаи санҷиш | Қимати \(x-40\) | Аломат |
|---|---|---|---|
| \((-\infty;40)\) | \(x=0\) | \(-40\) | \(-\) |
| \((40;+\infty)\) | \(x=41\) | \(1\) | \(+\) |
Схема:
\[ -\quad\big|\,40\,\big|\quad+ \]
Ба мо \(\le\) лозим, нуқтаи \(x=40\) низ дохил мешавад:
\[ x\in(-\infty;40] \]
Хулосаи кӯтоҳ
| Мисол | Схемаи аломатҳо | Ҷавоб |
|---|---|---|
| а) | \(+\ \big|-2\big|\ -\ \big|1\big|\ +\) | \((-\infty;-2)\cup(1;+\infty)\) |
| б) | \(-\ \big|2\big|\ -\) | \((-\infty;2)\cup(2;+\infty)\) |
| в) | \(+\ \big|-3\big|\ -\ \big|1\big|\ +\) | \((-\infty;-3)\cup[1;+\infty)\) |
| г) | \(+\ \big|2\big|\ -\ \big|4\big|\ +\) | \((-\infty;2)\cup(4;+\infty)\) |
| ғ) | \(-\ \big|\tfrac15\big|\ +\) | \(\left(-\infty;\tfrac15\right)\) |
| д) | \(-\ \big|40\big|\ +\) | \((-\infty;40]\) |
Эзоҳ: дар мисолҳои а), в), г) аломатҳо \(+,-,+\) тақсим мешаванд, чунки решаҳои сурат ва махраҷ содда (яккарата) ҳастанд. Дар мисоли б) реша дукарата аст ва аломат тағйир намеёбад — бинобар ин ҳар ду фосила «\(-\)» доранд.
