Вариант 2. 1. Разложите на простые множители число 6552. 2. Найдите наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел: 1512 и 1008. 3. Докажите, что числа 301 и 5855 взаимно простые. 4. Выполните действия: 268,8 : 0,56 + 6,44 ∙12 5. На соревнованиях по бегу через каждые 300 м от места старта стоит наблюдатель, а через каждые 800 м от места старта можно попить воды. На каком наименьшем расстоянии от места старта можно попить воды рядом с наблюдателем?
Краткий ответ
- \(6552=2^3\cdot 3^2\cdot 7\cdot 13\)
- \(\operatorname{НОД}(1512,1008)=504\), \(\operatorname{НОК}(1512,1008)=3024\)
- Числа \(301\) и \(5855\) взаимно простые: у них нет общего простого делителя.
- \(557,28\)
- На расстоянии \(2400\) м.
1. Разложение на простые множители
Делим последовательно на простые числа:
\[ 6552:2=3276,\quad 3276:2=1638,\quad 1638:2=819 \]
\[ 819:3=273,\quad 273:3=91,\quad 91=7\cdot 13 \]
Значит:
\[ 6552=2^3\cdot 3^2\cdot 7\cdot 13 \]
Проверка: \(8\cdot 9\cdot 7\cdot 13=6552\).
2. НОД и НОК чисел 1512 и 1008
Раскладываем на простые множители:
\[ 1512=2^3\cdot 3^3\cdot 7 \]
\[ 1008=2^4\cdot 3^2\cdot 7 \]
НОД — берём общие простые множители с наименьшими степенями:
\[ \text{НОД}=2^3\cdot 3^2\cdot 7=8\cdot 9\cdot 7=504 \]
НОК — берём все простые множители с наибольшими степенями:
\[ \text{НОК}=2^4\cdot 3^3\cdot 7=16\cdot 27\cdot 7=3024 \]
Проверка:
\[
504\cdot 3024=1512\cdot 1008
\]
3. Почему 301 и 5855 взаимно простые
Разложим \(301\):
\[ 301=7\cdot 43 \]
Значит, его простые делители — только \(7\) и \(43\). Проверим, делятся ли на них \(5855\):
\[ 5855:7=836\text{ (остаток }3) \]
\[ 5855:43=136\text{ (остаток }7) \]
Ни \(7\), ни \(43\) не делят \(5855\).
Если бы у чисел был общий делитель больше \(1\), то у него был бы простой делитель \(7\) или \(43\), но этого нет.
Следовательно:
\[ \operatorname{НОД}(301,5855)=1 \]
То есть числа взаимно простые.
4. Выполнение действий
Сначала деление и умножение, потом сложение.
\[ 268,8:0,56=26880:56=480 \]
Потому что при делении на десятичную дробь переносим запятую на два знака вправо.
\[ 6,44\cdot 12=77,28 \]
Теперь складываем:
\[ 480+77,28=557,28 \]
Ответ: \(557,28\).
5. Наблюдатель и вода
Наблюдатель стоит через каждые \(300\) м, вода — через каждые \(800\) м.
Нужно найти наименьшее расстояние, которое делится и на \(300\), и на \(800\), то есть их НОК.
\[ 300=2^2\cdot 3\cdot 5^2 \]
\[ 800=2^5\cdot 5^2 \]
\[ \text{НОК}=2^5\cdot 3\cdot 5^2=32\cdot 3\cdot 25=2400 \]
Проверка:
\[ 2400:300=8 \]
\[ 2400:800=3 \]
То есть на \(2400\) м будет восьмой наблюдатель и третья точка с водой.
Ответ: на расстоянии \(2400\) м, или \(2,4\) км.
Обсуждение
1 сообщениеВариант 3. 1. Разложите на простые множители число 7140. 2. Найдите наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел: 936 и 1404. 3. Докажите, что числа 483 и 368 не взаимно простые; 4. Выполните действия: 226,8 : 0,54 + 4,46 ∙ 14 5. По маршруту движутся рейсовый автобус и автобус-экспресс. Остановки рейсового автобуса расположены через каждые 400 м, а автобуса-экспресса — через каждые 900 м. Какое наименьшее одинаковое расстояние должен проехать каждый из них, чтобы их остановки совпали? (Первая остановка у них общая.)
