Вариант 3. 1. Разложите на простые множители число 7140. 2. Найдите наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел: 936 и 1404. 3. Докажите, что числа 483 и 368 не взаимно простые; 4. Выполните действия: 226,8 : 0,54 + 4,46 ∙ 14 5. По маршруту движутся рейсовый автобус и автобус-экспресс. Остановки рейсового автобуса расположены через каждые 400 м, а автобуса-экспресса — через каждые 900 м. Какое наименьшее одинаковое расстояние должен проехать каждый из них, чтобы их остановки совпали? (Первая остановка у них общая.)
Краткие ответы
\(7140=2^2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot17\)
(или \(2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot17\))\(\operatorname{НОД}(936,1404)=468\),
\(\operatorname{НОК}(936,1404)=2808\).Числа \(483\) и \(368\) не взаимно простые: у них есть общий делитель \(23\).
\(226{,}8:0{,}54+4{,}46\cdot14=482{,}44\).
Каждому нужно проехать \(3600\) м, то есть \(3\) км \(600\) м.
Как это получается
1. Разложение числа 7140 на простые множители
\[ 7140=10\cdot714=2\cdot5\cdot2\cdot357 =2^2\cdot5\cdot3\cdot119 =2^2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot17 \]
Проверка:
\[ 4\cdot3\cdot5\cdot7\cdot17=7140. \]
2. НОД и НОК чисел 936 и 1404
Сначала раскладываем на простые множители:
\[ 936=2^3\cdot3^2\cdot13 \]
\[ 1404=2^2\cdot3^3\cdot13 \]
Для НОД берём общие простые множители с наименьшими степенями:
\[ \operatorname{НОД}=2^2\cdot3^2\cdot13 =4\cdot9\cdot13=468. \]
Для НОК берём все простые множители с наибольшими степенями:
\[ \operatorname{НОК}=2^3\cdot3^3\cdot13 =8\cdot27\cdot13=2808. \]
Проверка по формуле:
\[ \operatorname{НОД}\cdot\operatorname{НОК}=936\cdot1404. \]
\[ 468\cdot2808=1\,314\,144, \]
\[ 936\cdot1404=1\,314\,144. \]
Всё сходится.
3. Доказательство, что 483 и 368 не взаимно простые
Разложим числа:
\[ 483=3\cdot7\cdot23, \]
\[ 368=2^4\cdot23. \]
У них есть общий делитель \(23\), значит, их НОД больше \(1\). Поэтому числа \(483\) и \(368\) не взаимно простые.
4. Выполнение действий
\[ 226{,}8:0{,}54+4{,}46\cdot14 \]
Сначала деление и умножение:
\[ 226{,}8:0{,}54=22680:54=420. \]
Потому что
\[ 420\cdot0{,}54=226{,}8. \]
Теперь умножение:
\[ 4{,}46\cdot14=62{,}44. \]
Складываем:
\[ 420+62{,}44=482{,}44. \]
Ответ: \(\boxed{482{,}44}\).
5. Совпадение остановок автобусов
Остановки рейсового автобуса находятся через \(400\) м, экспресса — через \(900\) м. Нужно найти наименьшее расстояние, которое кратно и \(400\), и \(900\), то есть:
\[ \operatorname{НОК}(400,900). \]
Разложим:
\[ 400=2^4\cdot5^2, \]
\[ 900=2^2\cdot3^2\cdot5^2. \]
Тогда
\[ \operatorname{НОК}(400,900) =2^4\cdot3^2\cdot5^2 =16\cdot9\cdot25 =3600. \]
Проверка:
\[ 3600:400=9, \]
\[ 3600:900=4. \]
То есть через \(3600\) м у обоих снова будет остановка.
Ответ: \(\boxed{3600\text{ м}=3\text{ км }600\text{ м}}\).
Обсуждение
2 сообщенияВариант 4. 1. Разложите на простые множители число 3276. 2. Найдите наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел: 588 и 252. 3. Докажите, что числа 476 и 855 взаимно простые. 4. Выполните действия: 316,8 : 0,48 + 8,47 ∙ 23 5. Две группы велотуристов одновременно отправились в поход из одного пункта в одном направлении. Первая группа делала остановки через каждые 20 км, а вторая — через каждые 30 км. На каком наименьшем расстоянии от места старта совпадут их остановки?
Краткие ответы
\(3276=2^2\cdot3^2\cdot7\cdot13\)
(или \(2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot7\cdot13\))\(\operatorname{НОД}(588,252)=84\),
\(\operatorname{НОК}(588,252)=1764\).Числа \(476\) и \(855\) взаимно простые: у них нет общих простых делителей, \(\operatorname{НОД}(476,855)=1\).
\(316{,}8:0{,}48+8{,}47\cdot23=854{,}81\).
Остановки совпадут на расстоянии \(60\) км от места старта.
Подробное решение
1. Разложение числа 3276 на простые множители
\[ 3276=2\cdot1638=2\cdot2\cdot819 \]
\[ 819=3\cdot273=3\cdot3\cdot91 \]
\[ 91=7\cdot13 \]
Значит,
\[ 3276=2^2\cdot3^2\cdot7\cdot13. \]
Проверка:
\[ 4\cdot9\cdot7\cdot13=36\cdot91=3276. \]
2. НОД и НОК чисел 588 и 252
Раскладываем на простые множители:
\[ 588=2^2\cdot3\cdot7^2 \]
\[ 252=2^2\cdot3^2\cdot7 \]
Для НОД берём общие множители с наименьшими степенями:
\[ \operatorname{НОД}=2^2\cdot3\cdot7=4\cdot3\cdot7=84. \]
Для НОК берём все множители с наибольшими степенями:
\[ \operatorname{НОК}=2^2\cdot3^2\cdot7^2 =4\cdot9\cdot49=1764. \]
Проверка:
\[ 84\cdot1764=588\cdot252. \]
Обе части равны \(148176\).
Ответ:
\[ \boxed{\operatorname{НОД}=84,\quad \operatorname{НОК}=1764.} \]
3. Доказательство взаимной простоты чисел 476 и 855
Разложим числа на простые множители:
\[ 476=4\cdot119=2^2\cdot7\cdot17, \]
\[ 855=9\cdot95=3^2\cdot5\cdot19. \]
В разложениях нет общих простых множителей. Значит,
\[ \operatorname{НОД}(476,855)=1. \]
Следовательно, числа \(476\) и \(855\) взаимно простые.
Можно проверить и алгоритмом Евклида:
\[ 855-476=379, \]
\[ 476-379=97, \]
\[ 379-3\cdot97=88, \]
\[ 97-88=9, \]
\[ 88-9\cdot9=7, \]
\[ 9-7=2, \]
\[ 7-3\cdot2=1. \]
НОД равен \(1\).
4. Выполнение действий
\[ 316{,}8:0{,}48+8{,}47\cdot23 \]
Сначала деление:
\[ 316{,}8:0{,}48 =\frac{316{,}8}{0{,}48} =\frac{31680}{48} =660. \]
Теперь умножение:
\[ 8{,}47\cdot23 =8{,}47\cdot20+8{,}47\cdot3 =169{,}4+25{,}41 =194{,}81. \]
Складываем:
\[ 660+194{,}81=854{,}81. \]
Ответ:
\[ \boxed{854{,}81.} \]
5. Совпадение остановок велотуристов
Первая группа делает остановки через \(20\) км, вторая — через \(30\) км. Нужно найти наименьшее расстояние, которое делится и на \(20\), и на \(30\):
\[ \operatorname{НОК}(20,30). \]
Разложим:
\[ 20=2^2\cdot5, \]
\[ 30=2\cdot3\cdot5. \]
Тогда
\[ \operatorname{НОК}(20,30) =2^2\cdot3\cdot5 =60. \]
Проверка:
\[ 60:20=3, \]
\[ 60:30=2. \]
То есть первая группа сделает остановку после \(60\) км, и вторая тоже.
Ответ:
\[ \boxed{60\text{ км}.} \]
