63

Қысқа жауабы:

а) \(D(y)=[1;\,3]\)
б) \(D(y)=[-1{,}5;\,2{,}5]\)
в) \(D(y)=[1;\,5]\)
г) \(D(y)=[-1-\sqrt2;\,-1+\sqrt2]\)
ғ) \(D(y)=\mathbb R\)
е) \(D(y)=\mathbb R\)

Негізгі принцип: \(\arcsin t\) және \(\arccos t\) тек \(-1\le t\le 1\) болғанда ғана анықталады. Ал \(\arctg t\) кез келген \(t\) үшін анықталады, сондықтан оған шектеу қоймаймыз.

Шешу жолы:

а) \(-1\le x-2\le 1\). Барлық бөлікке \(2\) қосамыз:
\[ 1\le x\le 3. \]

б) \(-1\le \dfrac{1-2x}{4}\le 1\). \(4\)-ке көбейтеміз:
\[ -4\le 1-2x\le 4. \] \(1\)-ді азайтамыз: \(-5\le -2x\le 3\). \(-2\)-ге бөлгенде таңба өзгереді:
\[ -1{,}5\le x\le 2{,}5. \]

в) \(-1\le \dfrac{x-3}{2}\le 1\). \(2\)-ге көбейтіп, \(3\)-ті қосамыз:
\[ 1\le x\le 5. \]

г) \(-1\le x^2+2x\le 1\).
Сол жақ: \(x^2+2x+1=(x+1)^2\ge 0\) — әрқашан орындалады.
Оң жақ: \(x^2+2x-1\le 0\). Түбірлері \(-1\pm\sqrt2\), сондықтан
\[ x\in[-1-\sqrt2;\,-1+\sqrt2]. \]

ғ) \(\cos x\) мәні әрқашан \([-1;1]\) аралығында, сондықтан \(\arcsin(\cos x)\) кез келген \(x\) үшін анықталған: \(D(y)=\mathbb R\).

е) \(\arctg(1-x^2)\) — аргумент кез келген сан болуы мүмкін, сондықтан \(D(y)=\mathbb R\).

Тексеру: шекара нүктелерін қойып көруге болады. Мысалы, а) \(x=1\): \(\arcsin(-1)\) бар; \(x=3\): \(\arcsin 1\) бар. б) \(x=-1{,}5\): \(\arccos 1=0\); \(x=2{,}5\): \(\arccos(-1)=\pi\). Барлығы дұрыс.