Сделай

Кратко: главное правило

Процент — это сотая часть числа:

\[ 1\%=\frac{1}{100}=0{,}01,\qquad p\%=\frac{p}{100},\qquad \frac{a}{b}=\frac{a}{b}\cdot 100\% \]

---

Упражнение 2.10

№ 1. Проценты → правильные (сокращённые) дроби

• а) \(25\%=\dfrac{25}{100}=\dfrac14\)
• б) \(62\%=\dfrac{62}{100}=\dfrac{31}{50}\)
• в) \(80\%=\dfrac{80}{100}=\dfrac45\)
• г) \(8\frac14\%=\dfrac{8{,}25}{100}=\dfrac{825}{10000}=\dfrac{33}{400}\)
• д) \(35\frac12\%=\dfrac{35{,}5}{100}=\dfrac{355}{1000}=\dfrac{71}{200}\)
• е) \(5{,}8\%=\dfrac{58}{1000}=\dfrac{29}{500}\)

В задании ещё есть пункты ж–и, но там проценты больше 100 — дробь неправильная, поэтому записываю и в виде смешанного числа:

• ж) \(100\frac12\%=\dfrac{1005}{1000}=\dfrac{201}{200}=1\dfrac{1}{200}\)
• з) \(210\%=\dfrac{210}{100}=\dfrac{21}{10}=2\dfrac{1}{10}\)
• и) \(100{,}3\%=\dfrac{1003}{1000}\)

№ 2. Проценты → упрощённая неправильная дробь

• а) \(130\%=\dfrac{13}{10}\)
• б) \(145\%=\dfrac{145}{100}=\dfrac{29}{20}\)
• в) \(138\%=\dfrac{138}{100}=\dfrac{69}{50}\)

№ 3. Проценты → десятичные дроби

• а) \(67\%=0{,}67\)
• б) \(146\%=1{,}46\)
• в) \(18\frac34\%=18{,}75\%=0{,}1875\)
• г) \(126\frac25\%=126{,}4\%=1{,}264\)
• д) \(96{,}5\%=0{,}965\)
• е) \(59{,}4\%=0{,}594\)

№ 4. Про зарплаты Бекжана и Айдара

Пример: у Бекжана было \(120\,000\), у Айдара — \(240\,000\).

• Бекжан: \(20\%\) от \(120\,000=24\,000\);
• Айдар: \(10\%\) от \(240\,000=24\,000\).

Прибавки одинаковые. Условие: \(20\%\cdot x=10\%\cdot(2x)\), то есть зарплата Айдара должна быть вдвое больше зарплаты Бекжана.

---

Упражнение 2.11

№ 1. Обыкновенные дроби → проценты

• а) \(\dfrac25=0{,}4=40\%\)
• б) \(\dfrac{3}{10}=30\%\)
• в) \(1\dfrac35=\dfrac85=1{,}6=160\%\)
• г) \(\dfrac{13}{16}=0{,}8125=81{,}25\%\)
• д) \(\dfrac{11}{5}=2{,}2=220\%\)
• е) \(\dfrac72=3{,}5=350\%\)

№ 2. Десятичные дроби → проценты

• а) \(0{,}01=1\%\)
• б) \(0{,}26=26\%\)
• (если нужно — на краю страницы: \(0{,}37=37\%\), \(1{,}57=157\%\))

---

Почему так: разбираем принцип

1. Процент → дробь: делим на 100. Запись \(p\%\) буквально означает «\(p\) сотых». Поэтому: \[ 25\%=\frac{25}{100}=\frac14,\qquad 62\%=\frac{62}{100}=\frac{31}{50} \] После деления на 100 дробь нужно сократить — это и есть «упрощённая» дробь.

2. Если перед процентом стоит смешанное число — сначала превращаем его в неправильную дробь: \[ 8\frac14\%=\Bigl(\frac{33}{4}\Bigr)\%=\frac{33}{4}:100=\frac{33}{400} \] То есть дробь \(33/4\) делим на 100 — при делении дробь переворачивается: \(\frac{33}{4\cdot 100}\).

3. Если число больше 100% — дробь получится неправильной, и её можно выделить в смешанное число: \[ 130\%=\frac{130}{100}=\frac{13}{10}=1{,}3 \]

4. Процент → десятичная дробь: сдвигаем запятую на 2 знака влево (то же деление на 100): \[ 67\%=0{,}67,\qquad 146\%=1{,}46,\qquad 18{,}75\%=0{,}1875 \]

5. Дробь → процент: умножаем дробь на 100%. \[ \frac25=\frac25\cdot100\%=\frac{200}{5}\%=40\%,\qquad \frac{13}{16}=\frac{13\cdot100}{16}\%=81{,}25\% \]

Проверка

• \(\dfrac{33}{400}=33:400=0{,}0825\), и \(0{,}0825\cdot100\%=8{,}25\%\) — да, это \(8\frac14\%\). ✔
• \(\dfrac{71}{200}=0{,}355=35{,}5\%=35\frac12\%\). ✔
• \(\dfrac{29}{20}=1{,}45=145\%\). ✔
• \(1\dfrac35=\dfrac85=1{,}6=160\%\), а обратно \(160\%=\dfrac{160}{100}=\dfrac85\). ✔
• В № 4: \(24\,000:120\,000=0{,}2=20\%\), \(24\,000:240\,000=0{,}1=10\%\). ✔

Короткое правило-шпаргалка: вправо к процентам — умножай на 100, влево к дроби — дели на 100.