Реши задание на изображении
На фото несколько номеров. Ниже — решения всех видимых заданий; для тел вращения подробно показан принцип.
№ 371. Объёмы тел вращения вокруг оси \(Ox\)
Общая формула: \[ V_x=\pi\int_a^b\left(y_{\text{верх}}^2-y_{\text{низ}}^2\right)\,dx. \]
а) \(y=x^2,\ y=x\).
Пересечение: \(x^2=x\Rightarrow x=0,\ 1\). На \([0;1]\) верхняя кривая \(y=x\).
\[
V=\pi\int_0^1(x^2-x^4)\,dx
=\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\frac{2\pi}{15}.
\]
б) \(y=2x,\ y=x+3,\ x=0,\ x=1\).
На \([0;1]\) верхняя прямая \(y=x+3\), нижняя \(y=2x\).
\[
V=\pi\int_0^1\left((x+3)^2-(2x)^2\right)\,dx=11\pi.
\]
в) \(y=x+2,\ y=1,\ x=0,\ x=2\).
\[
V=\pi\int_0^2\left((x+2)^2-1^2\right)\,dx
=\frac{50\pi}{3}.
\]
г) \(y=\sqrt{x},\ y=x\).
Пересечение: \(x=0,\ 1\). На \([0;1]\) верхняя \(y=\sqrt{x}\).
\[
V=\pi\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac{\pi}{6}.
\]
Ответ:
\[
\text{а) }\frac{2\pi}{15};\quad
\text{б) }11\pi;\quad
\text{в) }\frac{50\pi}{3};\quad
\text{г) }\frac{\pi}{6}.
\]
№ 372. Вывод формул объёмов
а) Шаровой сегмент.
Сечение шара: \(x^2+y^2=R^2\), то есть \(y^2=R^2-x^2\).
Сегмент высоты \(H\) получается при \(x\in[R-H;R]\):
\[
V=\pi\int_{R-H}^{R}(R^2-x^2)\,dx
=\frac{\pi H^2(3R-H)}{3}.
\]
б) Усечённый конус.
Радиус сечения меняется линейно:
\[
r(x)=r+\frac{R-r}{H}x.
\]
Тогда
\[
V=\pi\int_0^H\left(r+\frac{R-r}{H}x\right)^2dx
=\frac{\pi H}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right).
\]
Ответ:
\[
V_{\text{сегм.}}=\frac{\pi H^2(3R-H)}{3};\qquad
V_{\text{усеч. кон.}}=\frac{\pi H}{3}(R^2+Rr+r^2).
\]
№ 373. Работа при сжатии пружины
По закону Гука: \[ F=kx,\qquad W=\int_0^{x_2}kx\,dx=\frac{kx_2^2}{2}. \] Дано: \(F_1=2\) Н при \(x_1=1\) см \(=0{,}01\) м. \[ k=\frac{2}{0{,}01}=200\ \text{Н/м}. \] При \(x_2=4\) см \(=0{,}04\) м: \[ W=\frac{200\cdot(0{,}04)^2}{2}=0{,}16\ \text{Дж}. \]
Ответ: \(0{,}16\) Дж.
№ 374. Работа при растяжении пружины
На фото первая цифра читается как \(8\) см. Тогда: \[ 4=k\cdot0{,}08\Rightarrow k=50\ \text{Н/м}. \] \[ W=\frac{50\cdot(0{,}08)^2}{2}=0{,}16\ \text{Дж}. \]
Ответ: \(0{,}16\) Дж.
Если в книге опечатка и там \(1\) см, то \(k=400\) Н/м и \(W=1{,}28\) Дж.
№ 375. Работа электрического поля
Заряд электрона: \[ q_e=-e,\qquad e>0. \] Потенциальная энергия взаимодействия: \[ U(r)=\frac{\gamma q(-e)}{r}. \] Работа сил поля: \[ A=U(a)-U(b) =\gamma q(-e)\left(\frac1a-\frac1b\right). \] То есть \[ A=\gamma q e\left(\frac1b-\frac1a\right). \]
1) \(a<b,\ q<0\): электрон удаляется от отрицательного заряда, силы отталкивания совершают положительную работу: \[ A=\gamma |q|e\left(\frac1a-\frac1b\right)>0. \]
2) \(b<a,\ q>0\): электрон приближается к положительному заряду, силы притяжения тоже совершают положительную работу: \[ A=\gamma q e\left(\frac1b-\frac1a\right)>0. \]
Ответ: в обоих случаях работа положительна; общая формула: \[ A=\gamma q e\left(\frac1b-\frac1a\right), \] где \(e>0\) — модуль заряда электрона.
№ 376. Сила давления воды на плотину
Плотина имеет форму трапеции: верхнее основание \(a\), нижнее \(b\), высота \(h\). Вода налита до верхнего основания.
Ширина на глубине \(x\): \[ l(x)=a-\frac{a-b}{h}x. \] Давление на глубине \(x\): \[ p=\rho gx. \] Тогда \[ F=\int_0^h \rho gx\left(a-\frac{a-b}{h}x\right)\,dx. \] Считаем: \[ F=\rho g\left(a\frac{h^2}{2}-(a-b)\frac{h^2}{3}\right) =\frac{\rho g h^2(a+2b)}{6}. \]
Ответ: \[ F=\frac{\rho g h^2(a+2b)}{6}. \]
Проверка: если \(a=b\), получается сила давления на прямоугольную стенку: \[ F=\rho g a\frac{h^2}{2}. \]
Верхние обрезанные пункты
Судя по виду, это задания на площадь под кривой:
\[ \text{а) } \int_0^1(x^2+1)dx=\frac43; \] \[ \text{б) } \int_1^4\sqrt{x}\,dx=\frac{14}{3}; \] \[ \text{в) } \int_0^1\sqrt{x}\,dx=\frac23; \] \[ \text{г) } \int_{-1}^1(1-x^2)\,dx=\frac43. \]
