Реши задание, на кыргызском и с объяснением

Кыскача жооп:

1. а) \(\frac{1}{64}\); б) \(5\).
2. \(\lg x=3\lg a+4\lg b\) (эгер \(a>0,\ b>0\)).
3. \(x=\frac{21}{4}=5{,}25\).
4. \(x=1\).
5. \(x=8\).

\(\lg t=\log_{10}t\) — 10 негизиндеги логарифм.

1. Эсептөө

а) Бардык негиздерди 2ге келтиребиз: \[ 4=2^2,\qquad 16=2^4,\qquad \frac1{16}=2^{-4}. \] Анда \[ 2^2\cdot 4^2\cdot\left(\frac1{16}\right)^3 =2^2\cdot(2^2)^2\cdot(2^{-4})^3 =2^{2+4-12}=2^{-6}=\frac1{64}. \]

б) \(100=10^2\) болгондуктан: \[ 100^{\lg\sqrt5}=(10^2)^{\lg\sqrt5} =10^{2\lg\sqrt5} =\left(10^{\lg\sqrt5}\right)^2 =(\sqrt5)^2=5. \]

2. 10 негизде логарифмалоо

\[ x=a^3b^4. \] Эки жагын тең 10 негизде логарифмалайбыз: \[ \lg x=\lg(a^3b^4) =\lg a^3+\lg b^4 =3\lg a+4\lg b. \] Демек: \[ \boxed{\lg x=3\lg a+4\lg b}. \] Логарифмдер аныкталышы үчүн \(a>0,\ b>0\) болушу керек.

3. Потенцирлөө

\[ \lg x=\lg3+\lg7-2\lg2. \] Логарифмдин касиеттери боюнча: \[ \lg3+\lg7=\lg(3\cdot7)=\lg21, \] \[ 2\lg2=\lg(2^2)=\lg4. \] Ошондуктан \[ \lg x=\lg21-\lg4=\lg\frac{21}{4}. \] Демек, \[ \boxed{x=\frac{21}{4}=5{,}25}. \]

4. Көрсөткүчтүү теңдеме

\[ 2^{5x+1}=64. \] Ал эми \[ 64=2^6. \] Ошондуктан \[ 2^{5x+1}=2^6. \] Негиздер бирдей болгондуктан, көрсөткүчтөрдү теңештиребиз: \[ 5x+1=6, \] \[ 5x=5, \] \[ \boxed{x=1}. \] Текшерүү: \[ 2^{5\cdot1+1}=2^6=64. \]

5. Логарифмалык теңдеме

\[ \log_{x-1}(x^2-7x+41)=2. \]

ОДЗ: \[ x-1>0,\qquad x-1\ne1. \] Демек: \[ x>1,\qquad x\ne2. \]

Аргумент \(x^2-7x+41\) бардык \(x\) үчүн оң, анткени анын дискриминанты \[ D=49-164=-115<0, \] ал эми \(x^2\) нын коэффициенти оң.

Логарифмдин аныктамасы боюнча: \[ \log_a b=c \iff a^c=b. \] Демек: \[ (x-1)^2=x^2-7x+41. \] Ачабыз: \[ x^2-2x+1=x^2-7x+41, \] \[ 5x=40, \] \[ \boxed{x=8}. \]

Текшерүү: \[ 8>1,\quad 8\ne2, \] \[ \log_{8-1}(8^2-7\cdot8+41)=\log_7 49=2. \] Демек, \(x=8\) туура.

Негизги принцип: даражаларды бирдей негизге келтирип, көрсөткүчтөрдү теңештирүү; логарифмдик теңдемелерде негиз жана аргумент шарттарын текшерүү, анан логарифмдин аныктамасын колдонуу.