В прямоугольном треугольнике АВС катеты ВС и АС равны соответственно 25 см и 60 см. Найдите биссектрису АК треугольника АВС
Краткий ответ:
\[
AK=12\sqrt{26}\text{ см}\approx 61{,}2\text{ см}
\]
Решение по шагам
Так как \(AC\) и \(BC\) — катеты, угол между ними прямой: \[ \angle C=90^\circ. \] Найдём гипотенузу: \[ AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{60^2+25^2} =\sqrt{3600+625}=\sqrt{4225}=65. \]
По свойству биссектрисы треугольника: \[ \frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}. \] То есть \[ \frac{BK}{KC}=\frac{65}{60}=\frac{13}{12}. \]
При этом \[ BC=BK+KC=25. \] Отношение частей \(13:12\), а \(13+12=25\), значит: \[ BK=13\text{ см},\qquad KC=12\text{ см}. \]
Точка \(K\) лежит на \(BC\), а \(AC\perp BC\), поэтому треугольник \(ACK\) прямоугольный с катетами \[ AC=60,\qquad CK=12. \] По теореме Пифагора: \[ AK=\sqrt{AC^2+CK^2} =\sqrt{60^2+12^2} =\sqrt{3600+144} =\sqrt{3744} =12\sqrt{26}. \]
Ответ: \(\boxed{AK=12\sqrt{26}\text{ см}}\) (примерно \(61{,}2\) см).
Можно проверить формулой биссектрисы: \[ AK=\sqrt{AB\cdot AC\left(1-\frac{BC^2}{(AB+AC)^2}\right)} =\sqrt{65\cdot60\left(1-\frac{25^2}{125^2}\right)} =12\sqrt{26}. \]
Обсуждение
4 сообщенияКак звучит свойства бессектрисы и её доказательство?
Свойство биссектрисы треугольника (теорема о биссектрисе):
Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Если в треугольнике \(ABC\) отрезок \(AD\) — биссектриса угла \(A\), причём \(D\) лежит на \(BC\), то
\[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \]
В твоей задаче \(AK\) — биссектриса угла \(A\), поэтому
\[ \frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}. \]
Доказательство
Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ADC\).
Так как \(AD\) — биссектриса, то
\[ \angle BAD=\angle DAC. \]
Обозначим этот угол через \(\alpha\):
\[ \angle BAD=\angle DAC=\alpha. \]
Площади треугольников \(ABD\) и \(ADC\) можно записать так:
\[ S_{ABD}=\frac12\cdot AB\cdot AD\cdot \sin\alpha, \]
\[ S_{ADC}=\frac12\cdot AC\cdot AD\cdot \sin\alpha. \]
Значит,
\[ \frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}= \frac{AB}{AC}. \]
С другой стороны, у треугольников \(ABD\) и \(ADC\) общая высота, проведённая из вершины \(A\) к прямой \(BC\). Поэтому их площади относятся как основания:
\[ \frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}= \frac{BD}{DC}. \]
Сравниваем два выражения:
\[ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}. \]
Что и требовалось доказать.
Применение к предыдущей задаче
В треугольнике \(ABC\):
\[ AB=65,\qquad AC=60,\qquad BC=25. \]
Так как \(AK\) — биссектриса, то
\[ \frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}=\frac{65}{60}=\frac{13}{12}. \]
При этом
\[ BK+KC=25. \]
Поскольку части относятся как \(13:12\), а \(13+12=25\), получаем:
\[ BK=13\text{ см},\qquad KC=12\text{ см}. \]
Именно это и использовалось при нахождении биссектрисы \(AK\).
Коротко: биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении двух других сторон.
Основание ВС И АД трапеции АВСД равны соответственно 2 см и 14 см. На сторонах АВ и СД отметили точки М ИК так, что отрезок МК параллелен основания трапеции и делит трапеции на две равновеликие части. Найдите отрезок МК.
На лавке сидят семеро ребят. Каждый имеет среди остальных не менее трех братьев. Докажите, что все семеро братья. 10 класс вероятность
