Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайт
Ответ: \(32\) км/ч.
Пусть скорость первого автомобиля равна \(v\) км/ч, а весь путь равен \(2S\) км. Тогда каждая половина пути — по \(S\) км.
- Первый автомобиль ехал весь путь со скоростью \(v\), значит: \[ t_1=\frac{2S}{v}. \]
- Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью \(24\) км/ч, а вторую — со скоростью \(v+16\) км/ч: \[ t_2=\frac{S}{24}+\frac{S}{v+16}. \]
Прибыли они одновременно, поэтому \(t_1=t_2\): \[ \frac{2S}{v}=\frac{S}{24}+\frac{S}{v+16}. \] Сокращаем на \(S\): \[ \frac{2}{v}=\frac{1}{24}+\frac{1}{v+16}. \]
Решаем уравнение: \[ \frac{2}{v}-\frac{1}{v+16}=\frac{1}{24}, \] \[ \frac{v+32}{v(v+16)}=\frac{1}{24}, \] \[ 24(v+32)=v(v+16), \] \[ v^2-8v-768=0. \] Корни: \[ v=\frac{8\pm 56}{2}. \] Получаем \(v=32\) или \(v=-24\). Скорость не может быть отрицательной, значит: \[ v=32. \]
Проверка. Пусть весь путь \(96\) км, тогда половина — \(48\) км.
Первый автомобиль едет \(96:32=3\) ч.
Второй: \(48:24=2\) ч и \(48:48=1\) ч, всего тоже \(3\) ч. Всё сходится.
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни как составить подробную таблицу после которой нужно опираться в решении задач и
Как строить таблицу для задач на движение
Таблица — это не украшение, а «скелет» решения: она показывает, какие величины уже известны, какие надо обозначить буквой и из какого столбца потом взять уравнение. Строится она по формуле движения:
\[ S=v\cdot t \]
где \(S\) — путь, \(v\) — скорость, \(t\) — время.
Алгоритм из 5 шагов
- Выпиши объекты. Кто или что движется: первый автомобиль, второй, велосипедист, лодка…
- Раздели объект на участки, если на разных участках меняется скорость. Один участок — одна строка.
- Нарисуй столбцы: путь \(S\), скорость \(v\), время \(t\). Обязательно подпиши единицы: км, км/ч, ч.
- Заполни известное, а неизвестное обозначь буквой. Обычно буквой берут ту величину, которую спрашивают.
- Возьми уравнение из условия. В условии почти всегда сказано что-то про время («одновременно», «на 1 ч раньше», «встретились») — значит, уравнение собирается по столбцу «время».
Если путь в условии не дан — вводи его буквой \(S\) (или бери \(1\)). Он почти всегда сократится.
Таблица к нашей задаче
| № | Объект | Участок пути | \(S\), км | \(v\), км/ч | \(t\), ч |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Первый автомобиль | весь путь | \(2S\) | \(v\) | \(\dfrac{2S}{v}\) |
| 2 | Второй автомобиль | первая половина | \(S\) | \(24\) | \(\dfrac{S}{24}\) |
| 3 | Второй автомобиль | вторая половина | \(S\) | \(v+16\) | \(\dfrac{S}{v+16}\) |
Почему у второго автомобиля две строки, а у первого одна? Потому что у второго скорость на разных участках разная. Это главное правило: сколько разных скоростей — столько строк.
Как из таблицы получается уравнение
Смотрим на условие «прибыл одновременно» → сравниваем время:
\[ t_1=t_2+t_3 \]
\[ \frac{2S}{v}=\frac{S}{24}+\frac{S}{v+16} \]
Дальше \(S\) сокращается, и остаётся уравнение только с \(v\). В этом и смысл таблицы: она заранее расставляет величины по местам, и уравнение просто «собирается» из нужного столбца.
Пустой шаблон на будущее
| Объект / участок | \(S\) | \(v\) | \(t\) |
|---|---|---|---|
| 1 | |||
| 2 | |||
| 3 |
Частые ошибки:
- не ввели путь \(S\), хотя он не дан;
- свалили оба участка второго автомобиля в одну строку;
- взяли уравнение не из того столбца (например, сравнивают скорости, хотя в условии речь о времени);
- смешали минуты и часы в одном столбце.
Проверка после решения: подставь найденное значение в таблицу и посчитай время каждой строки — они должны совпасть так, как сказано в условии.
Если сообщение оборвалось и ты хотел(а) спросить ещё что-то — напиши, разберём. Можем вместе заполнить такую таблицу для похожей задачи.
