Номер 309

Краткие ответы

а) \(\left[-10;\,10\right]\)
б) \(\left(-\infty;\,-2\sqrt6\right)\cup\left(2\sqrt6;\,+\infty\right)\)
в) \(\left[-4;\,0\right]\)
г) \(\left(-\infty;\,-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt3}{3};\,+\infty\right)\)
д) \(\left(-\infty;\,0\right)\cup\left(\dfrac25;\,+\infty\right)\)
е) \(\left(-\infty;\,-\dfrac12\right)\cup\left(0;\,+\infty\right)\)

Как рассуждать

Общий приём для квадратных неравенств:

1. Перенести всё в одну часть, чтобы получилось сравнение с нулём.
2. Найти корни соответствующего уравнения — это границы промежутков.
3. Определить знак выражения на промежутках: у параболы с положительным коэффициентом при \(x^2\) знак «\(+\)» вне корней и «\(-\)» между корнями.
4. Включить границы, если неравенство нестрогое \(\le\) или \(\ge\); выколоть их, если строгое \(<\) или \(>\).

Отдельно полезно помнить:

\[ x^2\le m \iff |x|\le \sqrt m,\qquad x^2>m \iff |x|>\sqrt m \quad (m>0). \]

Нельзя сокращать обе части на \(x\): \(x\) может быть нулём, и тогда решение потеряется.

Решение по пунктам

а)
\[ 0{,}01x^2\le 1 \iff x^2\le 100 \iff |x|\le 10. \] Ответ: \([-10;10]\). Концы входят, потому что неравенство нестрогое.

б)
\[ \frac12x^2>12 \iff x^2>24 \iff |x|>2\sqrt6. \] Ответ: \((-\infty;-2\sqrt6)\cup(2\sqrt6;+\infty)\). Концы выколоты.

в)
\[ 4x\le -x^2 \iff x^2+4x\le0 \iff x(x+4)\le0. \] Корни: \(-4\) и \(0\). Парабола ветвями вверх, поэтому значения \(\le0\) находятся между корнями.
Ответ: \([-4;0]\).

г)
\[ \frac13x^2>\frac19 \iff x^2>\frac13 \iff |x|>\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}. \] Ответ: \(\left(-\infty;-\frac{\sqrt3}{3}\right)\cup\left(\frac{\sqrt3}{3};+\infty\right)\).

д)
\[ 5x^2>2x \iff 5x^2-2x>0 \iff x(5x-2)>0. \] Корни: \(0\) и \(\frac25\). Выражение положительно вне этих корней.
Ответ: \((-\infty;0)\cup\left(\frac25;+\infty\right)\).

е)
\[ -0{,}3x<0{,}6x^2 \iff 0<0{,}6x^2+0{,}3x \iff 0{,}3x(2x+1)>0. \] После деления на \(0{,}3>0\): \[ x(2x+1)>0. \] Корни: \(-\frac12\) и \(0\). Нужны промежутки со знаком «\(+\)», то есть снаружи.
Ответ: \(\left(-\infty;-\frac12\right)\cup(0;+\infty)\).

Проверка

• В а) и в) стоят знаки \(\le\), поэтому концы промежутков включены.
• В б), г), д), е) неравенства строгие, поэтому границы выколоты.
• Например, в д) при \(x=1\): \(5>2\) — верно, значит промежуток \(x>\frac25\) подходит. При \(x=0{,}1\): \(0{,}05>0{,}2\) — неверно.
• В е) при \(x=1\): \(-0{,}3<0{,}6\) — верно; при \(x=-0{,}25\): \(0{,}075<0{,}0375\) — неверно.