Реши задание на изображении

Кратко

№150.
а) \(y=x^2-4x+7\): вершина \(V(2;3)\), ось симметрии \(x=2\), ветви вверх.
б) \(y=-2x^2-5x-2\): вершина \(V\!\left(-\frac54;\frac98\right)\), ось симметрии \(x=-\frac54\), ветви вниз.

№151. \(y=-x^2+2x+8\), вершина \(V(1;9)\).
а) \(y(2{,}5)=6{,}75;\ y(-0{,}5)=6{,}75;\ y(-3)=-7\).
б) \(y=6:\ x=1\pm\sqrt3\approx -0{,}73;\ 2{,}73\);
\(y=0:\ x=-2;\ 4\);
\(y=-2:\ x=1\pm\sqrt{11}\approx -2{,}32;\ 4{,}32\).
в) нули \(x=-2,\ 4\); \(y>0\) при \(x\in(-2;4)\), \(y<0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\).
г) возрастает при \(x\le 1\), убывает при \(x\ge 1\); множество значений \(y\le 9\), то есть \((-\infty;9]\).

---

Как это получается

Вершина параболы \(y=ax^2+bx+c\):

\[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0). \]

Ось симметрии — вертикальная прямая \(x=x_0\). Если \(a>0\), ветви вверх; если \(a<0\), ветви вниз.

№150

а) \(y=x^2-4x+7\)

\[ x_0=-\frac{-4}{2\cdot1}=2, \] \[ y_0=2^2-4\cdot2+7=3. \]

Значит, вершина:

\[ V(2;3),\quad \text{ось }x=2. \]

Ветви вверх, так как \(a=1>0\). Дискриминант:

\[ D=(-4)^2-4\cdot1\cdot7=16-28=-12<0, \]

поэтому график не пересекает ось \(Ox\).

Опорные точки для эскиза:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&2&3&4\\ \hline y&7&4&3&4&7 \end{array} \]

Отмечаешь вершину \((2;3)\), точки \((1;4),(3;4),(0;7),(4;7)\) и проводишь параболу ветвями вверх.

б) \(y=-2x^2-5x-2\)

\[ x_0=-\frac{-5}{2\cdot(-2)}=-\frac54=-1{,}25, \] \[ y_0=-2\left(-\frac54\right)^2-5\left(-\frac54\right)-2=\frac98=1{,}125. \]

Вершина:

\[ V\!\left(-\frac54;\frac98\right),\quad \text{ось }x=-\frac54. \]

Ветви вниз, так как \(a=-2<0\).

Корни:

\[ -2x^2-5x-2=0 \Longrightarrow 2x^2+5x+2=0, \] \[ x=-2;\quad x=-\frac12. \]

Опорные точки:

\[ (-2;0),\quad \left(-\frac54;\frac98\right),\quad \left(-\frac12;0\right),\quad (0;-2). \]

Парабола ветвями вниз, пересекает ось \(Ox\) в точках \(x=-2\) и \(x=-0{,}5\).

---

№151. \(y=-x^2+2x+8\)

Вершина:

\[ x_0=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1, \] \[ y_0=-1^2+2\cdot1+8=9. \]

Значит, вершина \(V(1;9)\), ветви вниз.

Нули функции:

\[ -x^2+2x+8=0 \Longrightarrow x^2-2x-8=0, \] \[ (x-4)(x+2)=0, \] \[ x=-2;\quad x=4. \]

Точки для построения графика:

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x&-3&-2&-1&0&1&2&3&4&5\\ \hline y&-7&0&5&8&9&8&5&0&-7 \end{array} \]

Строишь эти точки и проводишь через них параболу ветвями вниз. Ось симметрии — \(x=1\).

а) Значения функции

Подставляем \(x\):

\[ y(2{,}5)=-2{,}5^2+2\cdot2{,}5+8=6{,}75, \] \[ y(-0{,}5)=-(-0{,}5)^2+2\cdot(-0{,}5)+8=6{,}75, \] \[ y(-3)=-(-3)^2+2\cdot(-3)+8=-7. \]

Ответ: \(6{,}75;\ 6{,}75;\ -7\).

б) Значения аргумента

При \(y=6\):

\[ -x^2+2x+8=6, \] \[ x^2-2x-2=0, \] \[ x=1\pm\sqrt3. \]

То есть примерно \(x\approx -0{,}73\) и \(x\approx 2{,}73\).

При \(y=0\):

\[ x=-2;\quad x=4. \]

При \(y=-2\):

\[ -x^2+2x+8=-2, \] \[ x^2-2x-10=0, \] \[ x=1\pm\sqrt{11}. \]

То есть примерно \(x\approx -2{,}32\) и \(x\approx 4{,}32\).

в) Нули и знаки функции

Нули:

\[ x=-2,\quad x=4. \]

Так как ветви вниз, между корнями функция положительна:

\[ y>0 \text{ при } x\in(-2;4). \]

Вне корней функция отрицательна:

\[ y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty). \]

г) Возрастание, убывание, множество значений

Вершина находится в точке \(x=1\).

• функция возрастает при \(x\le 1\), то есть на \((-\infty;1]\);
• функция убывает при \(x\ge 1\), то есть на \([1;+\infty)\);
• наибольшее значение функции \(y_{\max}=9\), поэтому множество значений:

\[ E(y)=(-\infty;9]. \]

Для проверки: значения при \(x=2{,}5\) и \(x=-0{,}5\) одинаковы, потому что эти точки симметричны относительно оси \(x=1\). Это подтверждает, что график построен верно.