Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Ответ: \(x_1 = 2,\; x_2 = 3\).
Ключевые шаги (через дискриминант)
Уравнение \(x^2 - 5x + 6 = 0\) — это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1,\; b = -5,\; c = 6\).
Считаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] \(D > 0\) — значит, корней два.
Подставляем в формулу корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} \] \[ x_1 = \frac{5-1}{2} = 2,\qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3 \]
Второй способ — теорема Виета
Для приведённого уравнения \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение \(q\): \[ x_1 + x_2 = 5,\qquad x_1 \cdot x_2 = 6 \] Подбором: \(2 + 3 = 5\) и \(2\cdot 3 = 6\) — те же корни. Этот способ быстрее, когда корни целые.
Проверка подстановкой
- \(2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\) ✓
- \(3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) ✓
Ещё удобно заметить разложение: \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\), произведение равно нулю, когда хотя бы одна скобка нулевая.
Принцип для похожих заданий: приведи уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\), найди \(D\), по его знаку определи число корней (\(D>0\) — два, \(D=0\) — один, \(D<0\) — нет действительных), затем подставь в формулу корней. Если коэффициенты небольшие и корни целые, проверь себя через Виета.
