Основание ВС И АД трапеции АВСД равны соответственно 2 см и 14 см. На сторонах АВ и СД отметили точки М ИК так, что отрезок МК параллелен основания трапеции и делит трапеции на две равновеликие части. Найдите отрезок МК.
Краткий ответ: \(MK=10\) см.
Как понять решение
Пусть:
- \(BC=2\) см — верхнее основание;
- \(AD=14\) см — нижнее основание;
- \(MK=x\);
- высота всей трапеции \(H\);
- расстояние от \(BC\) до \(MK\) равно \(h\).
Тогда \(t=\frac{h}{H}\) — какая доля высоты прошла линия \(MK\).
Так как боковые стороны прямые, длина параллельного основаниям отрезка меняется линейно:
\[ x=2+(14-2)t=2+12t. \]
Площадь всей трапеции:
\[ S=\frac{2+14}{2}\cdot H=8H. \]
Половина площади:
\[ \frac{S}{2}=4H. \]
Верхняя часть — тоже трапеция с основаниями \(2\) и \(x\), её площадь:
\[ S_1=\frac{2+x}{2}\cdot h =\frac{2+x}{2}\cdot tH. \]
Она равна половине всей площади:
\[ \frac{2+x}{2}\cdot tH=4H. \]
Сокращаем \(H\):
\[ (2+x)t=8. \]
Отсюда
\[ t=\frac{8}{x+2}. \]
Подставляем в \(x=2+12t\):
\[ x=2+12\cdot \frac{8}{x+2}, \]
\[ x=2+\frac{96}{x+2}. \]
Умножим на \(x+2\):
\[ x(x+2)=2(x+2)+96, \]
\[ x^2+2x=2x+4+96, \]
\[ x^2=100, \]
\[ x=10. \]
Ответ: \(\boxed{MK=10\text{ см}}\).
Проверка: при \(x=10\) верхняя часть имеет основания \(2\) и \(10\), нижняя — \(10\) и \(14\); они действительно получаются равными по площади.
Обсуждение
2 сообщенияДля ученика 10 класса
Для 10 класса удобно решать через отношение высот.
Ответ: \(MK=10\) см.
Пусть:
- \(BC=2\) см, \(AD=14\) см;
- \(MK=x\);
- высота всей трапеции \(H\);
- расстояние от \(BC\) до \(MK\) равно \(h\).
Обозначим
\[ t=\frac{h}{H}. \]
Так как \(MK\parallel BC\parallel AD\), длина параллельного основаниям отрезка меняется линейно:
\[ x=BC+(AD-BC)t=2+12t. \]
Площадь всей трапеции:
\[ S=\frac{2+14}{2}H=8H. \]
Половина площади:
\[ \frac S2=4H. \]
Верхняя часть — тоже трапеция с основаниями \(2\) и \(x\), её высота \(h=tH\). Значит,
\[ S_1=\frac{2+x}{2}\cdot tH. \]
По условию она равна половине всей площади:
\[ \frac{2+x}{2}\cdot tH=4H. \]
Сокращаем \(H\):
\[ (2+x)t=8. \]
Подставим \(t=\dfrac{x-2}{12}\) из \(x=2+12t\):
\[ (2+x)\cdot \frac{x-2}{12}=8. \]
Тогда
\[ x^2-4=96, \]
\[ x^2=100, \]
\[ x=10. \]
Проверка:
- верхняя часть: основания \(2\) и \(10\), высота \(\frac23H\), площадь
\[ \frac{2+10}{2}\cdot \frac23H=4H; \] - нижняя часть: основания \(10\) и \(14\), высота \(\frac13H\), площадь
\[ \frac{10+14}{2}\cdot \frac13H=4H. \]
Площади равны, значит, всё верно.
\[ \boxed{MK=10\text{ см}} \]
Можно запомнить формулу: если отрезок, параллельный основаниям \(a\) и \(b\), делит трапецию на две равновеликие части, то
\[ x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}. \]
В нашем случае:
\[ MK=\sqrt{\frac{2^2+14^2}{2}} =\sqrt{\frac{4+196}{2}} =\sqrt{100}=10. \]
