34 номер
Краткий ответ
| Прямые | Взаимное расположение |
|---|---|
| а) \(ND\) и \(AB\) | пересекаются в точке \(B\) |
| б) \(PK\) и \(BC\) | пересекаются |
| в) \(MN\) и \(AB\) | параллельны |
| г) \(MP\) и \(AC\) | параллельны |
| д) \(KN\) и \(AC\) | скрещиваются |
| е) \(MD\) и \(BC\) | скрещиваются |
Почему так
а) \(ND\) и \(AB\).
Точка \(N\) — середина \(DB\), значит \(N\) лежит на прямой \(DB\). Поэтому прямая \(ND\) — это та же прямая \(DB\). Она пересекает \(AB\) в точке \(B\).
Ответ: пересекаются в \(B\).б) \(PK\) и \(BC\).
Точки \(P,K,B,C\) лежат в одной плоскости \(DBC\). В треугольнике \(DBC\) точки \(P\) и \(N\) — середины сторон \(DC\) и \(DB\), поэтому \[ PN \parallel BC. \] Но \(K\) лежит на \(BN\), причём \(K\ne N\), потому что рассматривается прямая \(KN\). Если бы \(PK\parallel BC\), то через \(P\) проходили бы две параллельные \(BC\) прямые — \(PN\) и \(PK\), то есть они совпали бы, и \(K\) лежал бы на \(PN\). А \(PN\) и \(BN\) пересекаются только в \(N\), противоречие.
Значит, \(PK\) не параллельна \(BC\), а две непараллельные прямые одной плоскости пересекаются.
Ответ: пересекаются — возможно, на продолжении отрезка \(BC\), ведь речь о прямых.в) \(MN\) и \(AB\).
В треугольнике \(DAB\) точки \(M,N\) — середины сторон \(DA,DB\). Значит, \(MN\) — средняя линия: \[ MN \parallel AB. \] Ответ: параллельны.г) \(MP\) и \(AC\).
В треугольнике \(DAC\) точки \(M,P\) — середины сторон \(DA,DC\). Поэтому \[ MP \parallel AC. \] Ответ: параллельны.д) \(KN\) и \(AC\).
Точки \(K,N\) лежат на \(BN\), а \(B,N,D\) коллинеарны, поэтому \[ KN = BN = BD. \] Прямая \(BD\) пересекает плоскость \(ABC\) только в точке \(B\), а \(B\notin AC\). Значит, общих точек у \(BD\) и \(AC\) нет. Параллельными они быть не могут: если бы \(BD\parallel AC\), то через \(B\) в плоскости \(ABC\) шла бы прямая, параллельная \(AC\), и тогда \(D\) лежала бы в плоскости \(ABC\), что противоречит условию.
Ответ: скрещиваются.е) \(MD\) и \(BC\).
\(M\) лежит на \(DA\), поэтому \(MD\) — это прямая \(AD\). Она пересекает плоскость \(ABC\) только в точке \(A\), а \(A\notin BC\). Параллельными \(AD\) и \(BC\) быть не могут по той же причине: иначе \(D\) оказалась бы в плоскости \(ABC\).
Ответ: скрещиваются.
Что запомнить: если две точки — середины двух сторон одного треугольника, сразу работает средняя линия. Если прямые лежат в одной плоскости, они либо пересекаются, либо параллельны. Если общих точек нет и параллельность невозможна — прямые скрещиваются.
Обсуждение
10 сообщенийКоротко напиши
| Прямые | Ответ |
|---|---|
| а) \(ND\) и \(AB\) | пересекаются в точке \(B\) |
| б) \(PK\) и \(BC\) | пересекаются |
| в) \(MN\) и \(AB\) | параллельны |
| г) \(MP\) и \(AC\) | параллельны |
| д) \(KN\) и \(AC\) | скрещиваются |
| е) \(MD\) и \(BC\) | скрещиваются |
Рисунок
Дано решение и рисунок
Рисунок (схема):
D
/|\
/ | \
M N P
/ | \
A----|----C
\ K /
\ | /
B
На ребре \(DB\) точки расположены в порядке
\[
D \to N \to K \to B
\]
так как \(N\) — середина \(DB\), а \(K\) — середина \(BN\).
Дано:
\(DABC\) — тетраэдр;
\(M,N,P\) — середины рёбер \(DA,DB,DC\);
\(K\) — середина \(BN\).
Найти: взаимное расположение прямых:
а) \(ND\) и \(AB\); б) \(PK\) и \(BC\); в) \(MN\) и \(AB\);
г) \(MP\) и \(AC\); д) \(KN\) и \(AC\); е) \(MD\) и \(BC\).
Решение:
\(MN\) — средняя линия \(\triangle DAB\), поэтому
\[ MN \parallel AB. \]\(MP\) — средняя линия \(\triangle DAC\), поэтому
\[ MP \parallel AC. \]\(N\in DB\), значит \(ND\) — это прямая \(DB\). Она пересекает \(AB\) в точке \(B\):
\[ ND\cap AB=B. \]\(P,K,B,C\) лежат в одной плоскости \(DBC\). При этом \(PK\not\parallel BC\) (иначе через \(P\) проходили бы две параллельные \(BC\) прямые: \(PN\) и \(PK\)). Значит, в плоскости \(DBC\) прямые \(PK\) и \(BC\) пересекаются — на продолжении \(BC\) за точку \(B\).
\(K,N\in DB\), значит \(KN\) — это прямая \(DB\). Прямые \(DB\) и \(AC\) не пересекаются и не параллельны, следовательно,
\[ KN \text{ и } AC \text{ скрещиваются}. \]\(M\in AD\), значит \(MD\) — это прямая \(AD\). Аналогично \(AD\) и \(BC\) скрещиваются:
\[ MD \text{ и } BC \text{ скрещиваются}. \]
Ответ:
| Прямые | Взаимное расположение |
|---|---|
| а) \(ND\) и \(AB\) | пересекаются в точке \(B\) |
| б) \(PK\) и \(BC\) | пересекаются |
| в) \(MN\) и \(AB\) | параллельны |
| г) \(MP\) и \(AC\) | параллельны |
| д) \(KN\) и \(AC\) | скрещиваются |
| е) \(MD\) и \(BC\) | скрещиваются |
Теперь 34
Пришли, пожалуйста, условие задания №34 (текстом или фото страницы) — по одному номеру не понять, что нужно решать.
35
Задача 35
Дано: точка \(M\notin a\); через \(M\) проведены две прямые \(b\) и \(c\), причём \(b\cap a=\varnothing\) и \(c\cap a=\varnothing\).
Доказать: хотя бы одна из прямых \(b\), \(c\) скрещивается с \(a\).
Доказательство (от противного).
Пусть ни \(b\), ни \(c\) не скрещиваются с \(a\). Так как по условию они не имеют с \(a\) общих точек, остаётся только одна возможность: \[ b\parallel a,\qquad c\parallel a. \] Но через точку \(M\), не лежащую на прямой \(a\), можно провести только одну прямую, параллельную \(a\). Значит, \(b\) и \(c\) должны совпадать, что противоречит тому, что проведены две прямые.
Следовательно, наше предположение неверно. Поэтому хотя бы одна из прямых \(b\), \(c\) и прямая \(a\) являются скрещивающимися.
Что запомнить: если две прямые не пересекаются, они либо параллельны, либо скрещиваются. Через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, параллельная данной.
