Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- \(x^2+2x-48<0\)
\[ -8<x<6 \]
или в интервальной записи:
\[ x\in(-8;\,6) \]
- \(2x^2-7x+6\ge 0\)
\[ x\le \frac32 \quad \text{или} \quad x\ge 2 \]
или:
\[ x\in\left(-\infty;\,\frac32\right]\cup[2;\,+\infty) \]
Как решать
Для квадратного неравенства удобно:
- найти корни соответствующего уравнения;
- отметить их на числовой прямой;
- определить знак квадратичного выражения на интервалах.
1) \(x^2+2x-48<0\)
Решаем уравнение:
\[ x^2+2x-48=0 \]
\[ D=2^2-4\cdot1\cdot(-48)=4+192=196 \]
\[ \sqrt D=14 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm14}{2} \]
\[ x_1=6,\qquad x_2=-8 \]
График \(y=x^2+2x-48\) — парабола ветвями вверх. Она ниже оси \(Ox\) между корнями:
\[ -8<x<6 \]
Корни не включаем, потому что неравенство строгое: \(<\) .
Ответ:
\[ \boxed{(-8;\,6)} \]
2) \(2x^2-7x+6\ge0\)
Решаем уравнение:
\[ 2x^2-7x+6=0 \]
\[ D=(-7)^2-4\cdot2\cdot6=49-48=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{7\pm1}{4} \]
\[ x_1=\frac84=2,\qquad x_2=\frac64=\frac32 \]
Парабола ветвями вверх. Значение \(\ge0\) там, где парабола выше оси \(Ox\) или касается её, то есть снаружи корней:
\[ x\le\frac32 \quad \text{или}\quad x\ge2 \]
Корни включаем, потому что неравенство нестрогое: \(\ge\).
Ответ:
\[ \boxed{\left(-\infty;\,\frac32\right]\cup[2;\,+\infty)} \]
Проверка
- Возьмём \(x=0\):
\[ 0^2+2\cdot0-48=-48<0 \]
Подходит, и \(0\in(-8;6)\).
- Возьмём \(x=0\):
\[ 2\cdot0^2-7\cdot0+6=6\ge0 \]
Подходит, и \(0\le\frac32\).
Обсуждение
6 сообщенийТема: решение неравенств второй степени с одной переменой
Да, оба предыдущих задания относятся именно к теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».
Общий вид
\[ ax^2+bx+c>0,\quad ax^2+bx+c<0, \] \[ ax^2+bx+c\ge0,\quad ax^2+bx+c\le0, \] где \(a\ne0\).
Алгоритм решения
Найти корни уравнения
\[ ax^2+bx+c=0. \]Отметить корни на числовой прямой.
Определить знак выражения \(ax^2+bx+c\) на каждом промежутке.
Выбрать нужные промежутки:
- для знаков \(<0\) или \(>0\) — строгое неравенство, корни в ответ не входят;
- для знаков \(\le0\) или \(\ge0\) — неравенство нестрогое, корни в ответ входят.
Важное правило
Если \(a>0\), парабола направлена ветвями вверх:
- между корнями выражение отрицательно;
- вне корней — положительно.
Если \(a<0\), знаки меняются на противоположные.
На примерах из задания
\[ x^2+2x-48<0 \] Корни: \(-8\) и \(6\). Ветви вверх, поэтому отрицательные значения — между корнями: \[ x\in(-8;\,6). \]
\[ 2x^2-7x+6\ge0 \] Корни: \(\frac32\) и \(2\). Нужны неотрицательные значения, то есть промежутки вне корней, причём сами корни включаются: \[ x\in\left(-\infty;\,\frac32\right]\cup[2;\,+\infty). \]
Если нужно, можем разобрать ещё один пример на эту тему по шагам.
Мы так решаем
Мы так решаем
Да, всё верно — вы решаете через параболу и знаки на числовой прямой. Это тот же способ, только оформление другое.
В вашем примере:
\[ 5x^2+9x-2\le 0 \]
\[ D=9^2-4\cdot5\cdot(-2)=81+40=121 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-9\pm11}{10} \]
\[ x_1=\frac15,\qquad x_2=-2 \]
Так как \(a=5>0\), ветви параболы направлены вверх. Значит:
- на промежутках слева и справа от корней знак «+»;
- между корнями знак «−».
Нам нужно \(\le 0\), поэтому берём промежуток между корнями. Неравенство нестрогое, значит концы включаем:
\[ \boxed{x\in\left[-2;\,\frac15\right]} \]
Точки на числовой прямой должны быть закрашены. Если в ответе стоят круглые скобки, то при знаке \(\le\) их нужно заменить на квадратные.
В вашем оформлении
- \[ x^2+2x-48<0 \]
Корни: \(-8\) и \(6\). Ветви вверх, знак «−» между корнями. Неравенство строгое, поэтому точки выколоты:
\[ \boxed{x\in(-8;\,6)} \]
- \[ 2x^2-7x+6\ge0 \]
Корни:
\[ x_1=\frac32,\qquad x_2=2 \]
Ветви вверх. Знак «+» вне корней, а неравенство \(\ge0\), значит концы включаем:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;\,\frac32\right]\cup[2;\,+\infty)} \]
То есть ваш способ полностью подходит: корни → знаки на числовой прямой → нужные промежутки.
Да, понял — у вас оформление через параболу, знаки на промежутках и правило:
- \(\ge,\le\) — квадратные скобки, точки закрашены;
- \(>,<\) — круглые скобки, точки выколоты.
Пример на фото
\[ 5x^2+9x-2\le0 \]
Корни найдены верно:
\[ x_1=\frac15,\qquad x_2=-2 \]
Так как \(a=5>0\), ветви параболы направлены вверх, значит знаки такие:
\[ + \quad - \quad + \]
на промежутках:
\[ (-\infty;-2),\quad \left(-2;\frac15\right),\quad \left(\frac15;+\infty\right) \]
Неравенство \(\le0\), поэтому берём промежуток со знаком минус и включаем корни:
\[ \boxed{x\in\left[-2;\frac15\right]} \]
Если в тетради записан ответ \(\left(-2;\frac15\right)\), то это для строгого неравенства \(<\). Для \(\le\) нужны квадратные скобки: \(\left[-2;\frac15\right]\).
Предыдущие задания по этой же схеме
- \[ x^2+2x-48<0 \]
Корни: \(-8\) и \(6\). Неравенство строгое, поэтому точки выколоты:
\[ \boxed{x\in(-8;6)} \]
- \[ 2x^2-7x+6\ge0 \]
Корни: \(\frac32\) и \(2\). Неравенство нестрогое, корни включаем:
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;\frac32\right]\cup[2;+\infty)} \]
То есть ваш способ полностью подходит — просто следите за скобками и закрашенными точками.
