Объясни параграф
Судя по страницам, речь о §12 «Уравнение \(x^2=a\)» и начале §4 про арифметический квадратный корень.
Кратко
Уравнение
\[ x^2=a \]
решают по знаку числа \(a\):
\[ \begin{cases} a<0 & \text{корней нет;}\\ a=0 & x=0;\\ a>0 & x=\pm\sqrt a. \end{cases} \]
То есть при \(a>0\) корней два: положительный \(\sqrt a\) и отрицательный \(-\sqrt a\).
Почему так
Квадрат любого действительного числа неотрицателен:
\[ x^2\ge 0. \]
Поэтому:
- если \(a<0\), уравнение \(x^2=a\) не имеет корней — например, \(x^2=-4\) решений не имеет;
- если \(a=0\), подходит только \(x=0\);
- если \(a>0\), подходят два противоположных числа.
Это хорошо видно по графику \(y=x^2\): парабола симметрична относительно оси \(y\). Горизонтальная прямая \(y=a\) при \(a>0\) пересекает её в двух точках. Их абсциссы равны \(\sqrt a\) и \(-\sqrt a\).
Что такое \(\sqrt a\)
\(\sqrt a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).
\[ (\sqrt a)^2=a,\qquad a\ge 0. \]
Например:
\[ \sqrt{36}=6, \]
потому что \(6^2=36\), а \(6\) — неотрицательное число.
Но в уравнении \(x^2=36\) корни уже два:
\[ x=\pm 6. \]
Важно не путать:
- \(\sqrt{36}=6\) — это одно число;
- \(x^2=36\) даёт \(x=6\) и \(x=-6\) — два корня.
Примеры
\[ x^2=0{,}49 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 0{,}7; \]
\[ x^2=\frac49 \quad\Rightarrow\quad x=\pm \frac23; \]
\[ x^2=8 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt8=\pm2\sqrt2; \]
\[ x^2=-9 \quad\Rightarrow\quad \text{корней нет}. \]
Как решать похожие задания
- Посмотри на число \(a\).
- Если \(a<0\) — пиши «корней нет».
- Если \(a=0\) — ответ \(x=0\).
- Если \(a>0\) — пиши \(x=\pm\sqrt a\) и по возможности упрости корень.
- Проверь: подставь найденные числа в исходное уравнение.
Например, для \(x^2=8\):
\[ (\sqrt8)^2=8,\qquad (-\sqrt8)^2=8. \]
Оба корня подходят.
Обсуждение
4 сообщенияобъясни кратко и понятно чтобы даже двоечник понял
Давай совсем просто.
Главная идея
\(x^2\) — это число, умноженное само на себя:
\[ x^2=x\cdot x. \]
Даже если \(x\) отрицательное, квадрат всё равно положительный:
\[ (-5)^2=(-5)\cdot(-5)=25. \]
Поэтому квадрат не может быть отрицательным.
Уравнение \(x^2=a\)
Смотрим, какое число стоит вместо \(a\):
| Что за \(a\) | Ответ |
|---|---|
| \(a<0\), например \(x^2=-9\) | корней нет |
| \(a=0\) | \(x=0\) |
| \(a>0\), например \(x^2=25\) | \(x=5\) или \(x=-5\) |
Коротко:
\[ x^2=a>0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt a. \]
Знак \(\pm\) значит «плюс или минус».
Что такое \(\sqrt a\)
\(\sqrt a\) — это положительное число, которое при умножении само на себя даёт \(a\).
\[ \sqrt{25}=5, \]
потому что \(5\cdot5=25\).
Но в уравнении
\[ x^2=25 \]
ответов два:
\[ x=5 \quad\text{или}\quad x=-5. \]
Потому что и \(5^2=25\), и \((-5)^2=25\).
Главная ловушка
- \(\sqrt{25}=5\) — только плюс.
- \(x^2=25\) — два ответа: \(5\) и \(-5\).
Как решать
- Если справа минус — пиши: «корней нет».
- Если справа ноль — пиши: \(x=0\).
- Если справа плюс — пиши: \(x=\pm\sqrt a\).
Пример:
\[ x^2=49 \quad\Rightarrow\quad x=\pm7. \]
Ответ: \(7\) и \(-7\).
сделай 314 а и 316 а в и д
№ 314 а)
\[ x^2=3 \]
\[ x=\pm\sqrt3\approx\pm1{,}73 \]
Ответ: \(x_1\approx-1{,}7;\quad x_2\approx1{,}7\) (точное решение: \(x=\pm\sqrt3\)).
Как по графику: строим параболу \(y=x^2\) и прямую \(y=3\). Они пересекаются в двух точках. Опускаем из них перпендикуляры на ось \(x\) — получаем примерно \(-1{,}7\) и \(1{,}7\).
Проверка: \((1{,}73)^2\approx2{,}99\approx3\).
№ 316 а)
\[ 16+x^2=0 \]
\[ x^2=-16 \]
Квадрат не может быть отрицательным.
Ответ: корней нет.
№ 316 в)
\[ 0{,}5x^2=30 \]
\[ x^2=\frac{30}{0{,}5}=60 \]
\[ x=\pm\sqrt{60}=\pm2\sqrt{15}\approx\pm7{,}75 \]
Ответ: \(x=\pm\sqrt{60}\) (или \(\pm2\sqrt{15}\)).
№ 316 д)
\[ x^3-3x=0 \]
Выносим \(x\) за скобки:
\[ x(x^2-3)=0 \]
Значит:
\[ x=0 \quad\text{или}\quad x^2-3=0 \]
\[ x^2=3 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt3 \]
Ответ: \(x_1=-\sqrt3,\quad x_2=0,\quad x_3=\sqrt3\).
Проверка для \(x=0\): \(0^3-3\cdot0=0\) — верно.
Для \(x=\sqrt3\): \((\sqrt3)^3-3\sqrt3=3\sqrt3-3\sqrt3=0\) — верно.
