Дз по математике и к каждому примеру придумать 3 своих варианта

Ниже — краткие ответы, затем объяснение принципа и по 3 тренировочных варианта к каждому номеру.

Краткие ответы

1. \(7x-8\)
2. \(4a-11\)
3. \(y^2+10y+25\)
4. \((5t-2)(5t+2)\)
5. \(a+3\), \(a\ne3\)
6. \((2x-3)(4x^2+6x+9)\)
7. \((x+2)(x^2-2x+4)\)
8. \(2x^2+7x-4\)

Ключевые правила

• Раскрываем скобки: \(a(b+c)=ab+ac\). Если перед скобкой минус, знаки всех слагаемых внутри меняются.
• Приводим подобные слагаемые.
• \((m+n)^2=m^2+2mn+n^2\).
• \(m^2-n^2=(m-n)(m+n)\).
• \(m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)\).
• \(m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)\).
• В дробях сначала раскладываем числитель на множители, затем сокращаем. Ограничение берём из исходного знаменателя: он не может быть равен нулю.

---

1) \(4(3x-2)-5x\)

\[ 4(3x-2)-5x=12x-8-5x=7x-8 \]

Проверка при \(x=1\): \(4(3-2)-5=-1\), \(7-8=-1\).

Три своих варианта:

1. \(5(2x-3)-4x=6x-15\)
2. \(3(4y+1)-7y=5y+3\)
3. \(6(2m-5)-3m=9m-30\)

---

2) \(6a-2(a+7)+3\)

\[ 6a-2a-14+3=4a-11 \]

Проверка при \(a=2\): \(12-18+3=-3\), \(8-11=-3\).

Три своих варианта:

1. \(7b-3(b+4)+5=4b-7\)
2. \(9c-4(c-2)-6=5c+2\)
3. \(5d-2(3d+1)+7=5-d\)

---

3) \((y+5)^2\)

\[ (y+5)^2=y^2+2\cdot y\cdot5+5^2=y^2+10y+25 \]

Проверка при \(y=1\): \((1+5)^2=36\), \(1+10+25=36\).

Три своих варианта:

1. \((x+3)^2=x^2+6x+9\)
2. \((a+7)^2=a^2+14a+49\)
3. \((2m+1)^2=4m^2+4m+1\)

---

4) \(25t^2-4\)

Это разность квадратов:

\[ 25t^2-4=(5t)^2-2^2=(5t-2)(5t+2) \]

Проверка при \(t=1\): \(25-4=21\), \((5-2)(5+2)=3\cdot7=21\).

Три своих варианта:

1. \(9x^2-16=(3x-4)(3x+4)\)
2. \(49-y^2=(7-y)(7+y)\)
3. \(16a^2-25b^2=(4a-5b)(4a+5b)\)

---

5) \(\dfrac{a^2-9}{a-3}\), \(a\ne3\)

\[ \frac{a^2-9}{a-3}=\frac{(a-3)(a+3)}{a-3}=a+3 \]

Ограничение \(a\ne3\) обязательно: при \(a=3\) знаменатель исходной дроби равен нулю.

Проверка при \(a=4\): \(\frac{16-9}{1}=7\), \(4+3=7\).

Три своих варианта:

1. \(\dfrac{x^2-16}{x-4}=x+4,\ x\ne4\)
2. \(\dfrac{9-y^2}{3+y}=3-y,\ y\ne-3\)
3. \(\dfrac{4m^2-1}{2m-1}=2m+1,\ m\ne\frac12\)

---

6) \(8x^3-27\)

Это разность кубов:

\[ 8x^3-27=(2x)^3-3^3=(2x-3)(4x^2+6x+9) \]

Проверка при \(x=1\): \(8-27=-19\), \((2-3)(4+6+9)=-1\cdot19=-19\).

Три своих варианта:

1. \(27a^3-8=(3a-2)(9a^2+6a+4)\)
2. \(x^3-64=(x-4)(x^2+4x+16)\)
3. \(125m^3-1=(5m-1)(25m^2+5m+1)\)

---

7) \(x^3+8\)

Это сумма кубов:

\[ x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4) \]

Проверка при \(x=1\): \(1+8=9\), \(3(1-2+4)=3\cdot3=9\).

Три своих варианта:

1. \(y^3+27=(y+3)(y^2-3y+9)\)
2. \(8a^3+1=(2a+1)(4a^2-2a+1)\)
3. \(b^3+64=(b+4)(b^2-4b+16)\)

---

8) \((2x-1)(x+4)\)

Умножаем каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй:

\[ (2x-1)(x+4)=2x^2+8x-x-4=2x^2+7x-4 \]

Проверка при \(x=1\): \((2-1)(1+4)=5\), \(2+7-4=5\).

Три своих варианта:

1. \((3x+2)(x-5)=3x^2-13x-10\)
2. \((4a-3)(2a+1)=8a^2-2a-3\)
3. \((x-6)(5x+2)=5x^2-28x-12\)

Эти варианты можно переписать как свои тренировочные примеры: ответы после знака равенства — для самопроверки.