43

Если катеты относятся точно как \(4:3\), то проекции на гипотенузу относятся как
\[ 4^2:3^2=16:9. \]

То есть не \(4:3\), а \(16:9\) — большей проекции соответствует больший катет.

Пусть катеты равны \(a\) и \(b\), причём

\[ a:b=m:n. \]

Если \(x\) и \(y\) — проекции этих катетов на гипотенузу, то из подобия треугольников:

\[ a^2=cx,\qquad b^2=cy. \]

Делим одно равенство на другое:

\[ \frac{x}{y}=\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}. \]

Ответ: проекции катетов относятся как

\[ \boxed{m^2:n^2} \]

в том же порядке, то есть проекция первого катета относится к проекции второго как \(m^2:n^2\).

№ 116

а)
\[ 2x^2+13x-7>0 \] \[ D=13^2-4\cdot2\cdot(-7)=225=15^2 \] Корни: \[ x_1=-7,\qquad x_2=\frac12 \] Ветви параболы направлены вверх, знак «>» — берём внешние промежутки: \[ \boxed{x\in(-\infty;-7)\cup\left(\frac12;+\infty\right)} \]

б)
\[ -9x^2+12x-4<0 \] \[ -9x^2+12x-4=-(3x-2)^2 \] Квадрат неотрицателен, значит выражение меньше нуля при всех \(x\), кроме \(x=\frac23\): \[ \boxed{x\in(-\infty;\frac23)\cup(\frac23;+\infty)} \]

в)
\[ 6x^2-13x+5\le 0 \] \[ D=169-120=49 \] \[ x_1=\frac12,\qquad x_2=\frac53 \] Ветви вверх, знак «\(\le\)» — берём промежуток между корнями: \[ \boxed{x\in\left[\frac12;\frac53\right]} \]

г)
\[ -2x^2-5x+18\le0 \] Умножим на \(-1\), поменяв знак неравенства: \[ 2x^2+5x-18\ge0 \] \[ D=25+144=169 \] Корни: \[ x_1=-\frac92,\qquad x_2=2 \] Берём внешние промежутки: \[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac92\right]\cup[2;+\infty)} \]

д)
\[ 3x^2-2x>0 \] \[ x(3x-2)>0 \] Корни: \(0\) и \(\frac23\). Берём внешние промежутки: \[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac23;+\infty\right)} \]

е)
\[ 8-x^2<0 \] \[ x^2>8 \] \[ \boxed{x\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)} \]

Пришлите, пожалуйста, сами неравенства или фото задания: в сообщении «Номер 116» уже решены пункты а–е, но не видно, какие именно неравенства нужно решить сейчас. Если нужно разобрать один из них подробнее, укажите букву.

а) \(2x^2+13x-7>0\)

Найдём корни уравнения \(2x^2+13x-7=0\):

\[ D=13^2-4\cdot2\cdot(-7)=169+56=225=15^2 \]

\[ x_1=\frac{-13-15}{4}=\frac{-28}{4}=-7 \]

\[ x_2=\frac{-13+15}{4}=\frac{2}{4}=\frac12 \]

Ветви параболы направлены вверх, знак неравенства \(>0\), поэтому берём промежутки вне корней:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-7)\cup\left(\frac12;+\infty\right)} \]

е) \(8-x^2<0\)

Перенесём:

\[ -x^2<-8 \]

Умножим на \(-1\), знак неравенства поменяется:

\[ x^2>8 \]

\[ x^2-8>0 \]

Корни:

\[ x=\pm\sqrt8=\pm2\sqrt2 \]

Неравенство выполняется при

\[ \boxed{x\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)} \]

Ответ:
а) \(\boxed{(-\infty;-7)\cup\left(\frac12;+\infty\right)}\)
е) \(\boxed{(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)}\)

Берём формулу корней:

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

Для \(2x^2+13x-7=0\):

\[ a=2,\quad b=13,\quad c=-7 \]

\[ D=13^2-4\cdot2\cdot(-7)=169+56=225 \]

\[ x=\frac{-13\pm15}{2\cdot2}=\frac{-13\pm15}{4} \]

Теперь два корня:

\[ x_1=\frac{-13-15}{4}=\frac{-28}{4}=-7 \]

\[ x_2=\frac{-13+15}{4}=\frac{2}{4}=\frac12 \]

То есть \(x_2=\frac12\) получается потому, что \(-13+15=2\), а потом \(2\) делим на \(4\).

Можно проверить разложением:

\[ 2x^2+13x-7=(x+7)(2x-1) \]

Отсюда корни:

\[ x+7=0 \Rightarrow x=-7 \]

\[ 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12 \]

Ответ: \(x_2=\frac12\), потому что \(\frac{-13+15}{4}=\frac{2}{4}=\frac12\).

В пункте г было:

\[ -2x^2-5x+18\le 0 \]

Умножаем обе части на \(-1\), при этом знак неравенства меняется:

\[ 2x^2+5x-18\ge 0 \]

Теперь решаем уравнение

\[ 2x^2+5x-18=0 \]

Здесь \(a=2,\ b=5,\ c=-18\). Считаем дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=5^2-4\cdot2\cdot(-18) \]

\[ D=25+144=169 \]

\[ \sqrt D=13 \]

Подставляем в формулу корней:

\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} \]

\[ x=\frac{-5\pm13}{2\cdot2} \]

Отсюда два корня:

\[ x_1=\frac{-5-13}{4}=\frac{-18}{4}=-\frac92 \]

\[ x_2=\frac{-5+13}{4}=\frac{8}{4}=2 \]

То есть

\[ x_1=-\frac92,\qquad x_2=2 \]

Коротко: \(-9/2\) получается из \(\frac{-5-13}{4}\), а \(2\) — из \(\frac{-5+13}{4}=\frac84=2\).

д) \(3x^2-2x>0\)

1. Вынесем \(x\):

\[ 3x^2-2x=x(3x-2)>0 \]

2. Найдём нули:

\[ x=0,\qquad 3x-2=0 \Rightarrow x=\frac23 \]

3. Отмечаем \(0\) и \(\frac23\) на числовой прямой. Парабола \(y=3x^2-2x\) направлена ветвями вверх, значит положительна снаружи от корней.

4. Знак \(>\), поэтому корни не включаем:

\[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac23;+\infty\right)} \]

Проверка: при \(x=-1\): \(3+2=5>0\) — подходит. При \(x=\frac13\): \(\frac13-\frac23=-\frac13<0\) — не подходит. При \(x=1\): \(3-2=1>0\) — подходит.

е) \(8-x^2<0\)

1. Перенесём \(x^2\):

\[ 8<x^2 \]

или

\[ x^2>8 \]

2. Найдём границы:

\[ x=\pm\sqrt8=\pm2\sqrt2 \]

3. Неравенство \(x^2>8\) выполняется, когда \(x\) дальше от нуля, чем \(2\sqrt2\), то есть слева и справа:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)} \]

Корни не включаем, потому что неравенство строгое.

Ответ:
д) \(\boxed{(-\infty;0)\cup\left(\frac23;+\infty\right)}\)
е) \(\boxed{(-\infty;-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2;+\infty)}\)