Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(9x^4+8x^2-1=0\)
   \[ x=\pm\frac13 \]

2. \((x+2)^2+5(x+2)+4=0\)
   \[ x=-6;\quad x=-3 \]

3. \((x^2+2x-6)(x^2+2x-5)=6\)
   \[ x=-4;\ -3;\ 1;\ 2 \]

Как это решать

Главный приём — замена переменной: одинаковое выражение обозначаем новой буквой, и уравнение становится проще.

1. Биквадратное уравнение

\[ 9x^4+8x^2-1=0 \]

Так как \(x^4=(x^2)^2\), обозначим

\[ t=x^2,\qquad t\ge 0. \]

Получаем:

\[ 9t^2+8t-1=0 \]

Дискриминант:

\[ D=8^2-4\cdot 9\cdot(-1)=64+36=100 \]

Корни:

\[ t=\frac{-8\pm 10}{18} \]

\[ t=\frac19 \quad \text{или} \quad t=-1 \]

Так как \(t=x^2\ge 0\), значение \(t=-1\) не подходит. Значит:

\[ x^2=\frac19 \]

\[ x=\pm\frac13 \]

---

2. Замена целого выражения

\[ (x+2)^2+5(x+2)+4=0 \]

Обозначим

\[ t=x+2. \]

Тогда:

\[ t^2+5t+4=0 \]

\[ (t+1)(t+4)=0 \]

\[ t=-1 \quad \text{или} \quad t=-4 \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ x+2=-1 \Rightarrow x=-3 \]

\[ x+2=-4 \Rightarrow x=-6 \]

---

3. Замена повторяющейся части

\[ (x^2+2x-6)(x^2+2x-5)=6 \]

Выражение \(x^2+2x\) встречается дважды. Обозначим:

\[ t=x^2+2x. \]

Тогда уравнение принимает вид:

\[ (t-6)(t-5)=6 \]

Раскрываем скобки:

\[ t^2-11t+30=6 \]

\[ t^2-11t+24=0 \]

\[ (t-3)(t-8)=0 \]

Значит:

\[ t=3 \quad \text{или} \quad t=8 \]

Теперь решаем два уравнения.

Случай 1:

\[ x^2+2x=3 \]

\[ x^2+2x-3=0 \]

\[ (x+3)(x-1)=0 \]

\[ x=-3;\quad x=1 \]

Случай 2:

\[ x^2+2x=8 \]

\[ x^2+2x-8=0 \]

\[ (x+4)(x-2)=0 \]

\[ x=-4;\quad x=2 \]

Проверка подтверждает: при каждом из этих \(x\) произведение равно \(6\).