Выполни 150 Упр

Кратко

\[ \text{а) } \frac{10}{2m+1},\quad m\ne0,\ \pm\frac12; \qquad \text{б) } \frac{2}{x-3},\quad x\ne\pm3. \]

Как решали

Общий принцип: привести дроби к общему знаменателю, разложить на множители, заменить деление умножением на обратную дробь и сократить.

а)

\[ \left(\frac{2m+1}{2m-1}-\frac{2m-1}{2m+1}\right):\frac{4m}{10m-5} \]

Сначала выражение в скобках:

\[ \frac{(2m+1)^2-(2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}. \]

Далее:

\[ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot \frac{10m-5}{4m} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)}\cdot \frac{5(2m-1)}{4m}. \]

Сокращаем \(2m-1\), \(4m\) и \(8m\):

\[ \frac{10}{2m+1}. \]

б)

\[ \frac{x+3}{x^2+9}\left(\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}\right) \]

Сумма в скобках:

\[ \frac{(x+3)^2+(x-3)^2}{x^2-9} = \frac{2x^2+18}{(x-3)(x+3)} = \frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)}. \]

Теперь умножаем:

\[ \frac{x+3}{x^2+9}\cdot \frac{2(x^2+9)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x-3}. \]

Проверка

При \(m=1\):

\[ \left(3-\frac13\right):\frac45=\frac{10}{3}, \quad \frac{10}{2\cdot1+1}=\frac{10}{3}. \]

При \(x=0\):

\[ \frac{3}{9}\left(-1-1\right)=-\frac23, \quad \frac{2}{0-3}=-\frac23. \]

Всё сходится. Важно не забывать ограничения: после сокращения выражение выглядит проще, но исходные знаменатели не должны были быть нулевыми.