Реши задание на изображении

Кратко:
а) \(\frac14\); б) \(1\); в) \(\frac12\); г) \(-2\).

Главное — не вычислять «в лоб», а сводить выражения к формулам двойного угла и сумма/разность синусов и косинусов.

а)

Используем формулу \(\sin \alpha\cos\alpha=\frac12\sin2\alpha\): \[ \sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} =\frac12\sin\frac{\pi}{6} =\frac12\cdot\frac12 =\boxed{\frac14}. \]

б)

Разность синусов: \[ \sin A-\sin B=2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}. \] Здесь \(A=\frac{7\pi}{18}\), \(B=\frac{\pi}{18}\), поэтому \[ \sin\frac{7\pi}{18}-\sin\frac{\pi}{18} =2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{2\pi}{9} =2\cdot\frac12\cdot\cos\frac{2\pi}{9} =\cos\frac{2\pi}{9}. \] Делим на \(\cos\frac{2\pi}{9}\): \[ \frac{\cos\frac{2\pi}{9}}{\cos\frac{2\pi}{9}} =\boxed{1}. \]

в)

Формула двойного угла: \[ \sin^2x-\cos^2x=-\cos2x. \] При \(x=\frac{\pi}{8}\): \[ \sin^2\frac{\pi}{8}-\cos^2\frac{\pi}{8} =-\cos\frac{\pi}{4} =-\frac{\sqrt2}{2}. \] После возведения в квадрат: \[ \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 =\boxed{\frac12}. \]

г)

Разность косинусов: \[ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}. \] Тогда \[ \cos\frac{11\pi}{12}-\cos\frac{\pi}{12} =-2\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{5\pi}{12} =-2\sin\frac{5\pi}{12}. \] Знаменатель равен \(\sin\frac{5\pi}{12}\), поэтому \[ \frac{-2\sin\frac{5\pi}{12}}{\sin\frac{5\pi}{12}} =\boxed{-2}. \]

Что важно запомнить: почти все такие задания решаются превращением суммы или разности в произведение. После этого лишний множитель обычно сокращается. Следи за знаком: в пункте в) минус исчезает после квадрата, а в пункте г) остаётся.