Номер 1.263

Ответ:
а) \(9\sqrt{11}-3\);
б) \(-2\);
в) \(2(\sqrt3+\sqrt2)\);
г) \(\sqrt7-3\sqrt2\).

Главный приём. Чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Используем формулу
\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \] Например: \[ \frac{A}{\sqrt m-\sqrt n} = \frac{A(\sqrt m+\sqrt n)}{m-n}. \]

а)

\[ \frac{8}{\sqrt{11}-3}+\frac{10}{3+\sqrt{11}} = \frac{8(\sqrt{11}+3)}{11-9} + \frac{10(\sqrt{11}-3)}{11-9}. \] Тогда: \[ 4(\sqrt{11}+3)+5(\sqrt{11}-3) = 9\sqrt{11}-3. \]

б)

\[ \frac{3}{1-\sqrt7} = \frac{3(1+\sqrt7)}{1-7} = -\frac{1+\sqrt7}{2}, \] \[ \frac{1}{\sqrt7+3} = \frac{\sqrt7-3}{7-9} = \frac{3-\sqrt7}{2}. \] Поэтому: \[ -\frac{1+\sqrt7}{2}-\frac{3-\sqrt7}{2} = \frac{-1-\sqrt7-3+\sqrt7}{2} = -2. \]

в)

\[ \frac{4}{\sqrt5-\sqrt3} = \frac{4(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3} = 2(\sqrt5+\sqrt3), \] \[ \frac{6}{\sqrt5+\sqrt2} = \frac{6(\sqrt5-\sqrt2)}{5-2} = 2(\sqrt5-\sqrt2). \] Вычитаем: \[ 2(\sqrt5+\sqrt3)-2(\sqrt5-\sqrt2) = 2(\sqrt3+\sqrt2). \]

г)

\[ \frac{10}{\sqrt7+\sqrt2} = \frac{10(\sqrt7-\sqrt2)}{7-2} = 2(\sqrt7-\sqrt2), \] \[ \frac{5}{\sqrt7-\sqrt2} = \frac{5(\sqrt7+\sqrt2)}{7-2} = \sqrt7+\sqrt2. \] Тогда: \[ 2(\sqrt7-\sqrt2)-(\sqrt7+\sqrt2) = \sqrt7-3\sqrt2. \]

Проверка приближённо: а) \(\approx 26{,}85\); б) \(-2\); в) \(\approx 6{,}29\); г) \(\approx -1{,}60\) — совпадает.

Принцип для похожих заданий: найди сопряжённое к знаменателю, умножь на него числитель и знаменатель, а затем упрости выражение.