109 урр

Вот полное решение задания 109.

Все углы даны в радианах. Напомним: \[ \pi\approx3{,}14,\quad 2\pi\approx6{,}28,\quad 3\pi\approx9{,}42,\quad 4\pi\approx12{,}57. \]

а) \(\cos 4,\ \cos 7,\ \cos 9,\ \cos(-12{,}5)\)

Приводим к углам первой четверти: \[ \cos 9=\cos(2\pi+2{,}717)=\cos 2{,}717=-\cos(2{,}717-\pi)\approx-\cos0{,}425, \] \[ \cos 4=\cos(\pi+0{,}858)=-\cos0{,}858, \] \[ \cos 7=\cos(2\pi+0{,}717)=\cos0{,}717, \] \[ \cos(-12{,}5)=\cos12{,}5=\cos(4\pi-0{,}066)=\cos0{,}066. \]

Видно, что \(\cos9\) и \(\cos4\) отрицательны, причём \(|\cos9|>|\cos4|\), значит \(\cos9<\cos4\).
\(\cos7\) и \(\cos(-12{,}5)\) положительны, причём \(\cos7<\cos(-12{,}5)\) (так как \(0{,}066<0{,}717\), а косинус на \((0;\pi)\) убывает).

Ответ:
\[ \boxed{\cos9<\cos4<\cos7<\cos(-12{,}5)} \]

б) \(\operatorname{tg}(-8),\ \operatorname{tg}1{,}3,\ \operatorname{tg}4,\ \operatorname{tg}16\)

Используем период \(\pi\): \[ \operatorname{tg}(-8)=\operatorname{tg}(-8+3\pi)=\operatorname{tg}1{,}425, \] \[ \operatorname{tg}4=\operatorname{tg}(4-\pi)=\operatorname{tg}0{,}858, \] \[ \operatorname{tg}16=\operatorname{tg}(16-5\pi)=\operatorname{tg}0{,}292. \]

Тангенс возрастает на \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\). Так как \[ 0{,}292<0{,}858<1{,}3<1{,}425, \] то \[ \operatorname{tg}16<\operatorname{tg}4<\operatorname{tg}1{,}3<\operatorname{tg}(-8). \]

Ответ: \[ \boxed{\operatorname{tg}16<\operatorname{tg}4<\operatorname{tg}1{,}3<\operatorname{tg}(-8)} \]

в) \(\sin6{,}7,\ \sin10{,}5,\ \sin(-7),\ \sin20{,}5\)

Приводим к основному промежутку: \[ \sin6{,}7=\sin(6{,}7-2\pi)=\sin0{,}417>0, \] \[ \sin10{,}5=\sin(10{,}5-2\pi)=\sin4{,}217=-\sin(4{,}217-\pi)\approx-\sin1{,}075<0, \] \[ \sin(-7)=-\sin7=-\sin(7-2\pi)\approx-\sin0{,}717<0, \] \[ \sin20{,}5=\sin(20{,}5-6\pi)\approx\sin1{,}650>0. \]

Сравниваем отрицательные значения:
\(|\sin10{,}5|>|\sin(-7)|\), поэтому \(\sin10{,}5<\sin(-7)\).

Сравниваем положительные значения:
\(\sin6{,}7\approx0{,}405\), \(\sin20{,}5\approx0{,}997\), значит \(\sin6{,}7<\sin20{,}5\).

Ответ: \[ \boxed{\sin10{,}5<\sin(-7)<\sin6{,}7<\sin20{,}5} \]

г) \(\operatorname{ctg}3{,}5,\ \operatorname{ctg}(-9),\ \operatorname{ctg}5,\ \operatorname{ctg}15\)

Период котангенса равен \(\pi\): \[ \operatorname{ctg}15=\operatorname{ctg}(15-5\pi)=\operatorname{ctg}(-0{,}708)=-\operatorname{ctg}0{,}708<0, \] \[ \operatorname{ctg}5=\operatorname{ctg}(5-2\pi)=\operatorname{ctg}(-1{,}283)=-\operatorname{ctg}1{,}283<0, \] \[ \operatorname{ctg}(-9)=\operatorname{ctg}(-9+3\pi)=\operatorname{ctg}0{,}425>0, \] \[ \operatorname{ctg}3{,}5=\operatorname{ctg}(3{,}5-\pi)=\operatorname{ctg}0{,}358>0. \]

Отрицательные:
\(|\operatorname{ctg}15|>|\operatorname{ctg}5|\), значит \(\operatorname{ctg}15<\operatorname{ctg}5\).

Положительные:
котангенс убывает на \((0;\pi)\), а \(0{,}358<0{,}425\), поэтому \(\operatorname{ctg}3{,}5>\operatorname{ctg}(-9)\).

Ответ: \[ \boxed{\operatorname{ctg}15<\operatorname{ctg}5<\operatorname{ctg}(-9)<\operatorname{ctg}3{,}5} \]

Итог: \[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{а) } \cos9,\ \cos4,\ \cos7,\ \cos(-12{,}5);\\ &\text{б) } \operatorname{tg}16,\ \operatorname{tg}4,\ \operatorname{tg}1{,}3,\ \operatorname{tg}(-8);\\ &\text{в) } \sin10{,}5,\ \sin(-7),\ \sin6{,}7,\ \sin20{,}5;\\ &\text{г) } \operatorname{ctg}15,\ \operatorname{ctg}5,\ \operatorname{ctg}(-9),\ \operatorname{ctg}3{,}5. \end{aligned}} \]