Реши задание на изображении
Краткий ответ (действительные корни):
\(9x^4+8x^2-1=0\)
\[ x=\pm\frac13 \]\((x+2)^2+5(x+2)+4=0\)
\[ x=-3;\quad x=-6 \]\((x^2+2x-6)(x^2+2x-5)=6\)
\[ x=-4,\,-3,\,1,\,2 \]
1) \(9x^4+8x^2-1=0\)
Видим только чётные степени \(x\), поэтому вводим замену:
\[ t=x^2,\qquad t\ge 0 \]
Получаем квадратное уравнение:
\[ 9t^2+8t-1=0 \]
\[ D=8^2-4\cdot9\cdot(-1)=64+36=100 \]
\[ t=\frac{-8\pm10}{18} \]
Отсюда:
\[ t_1=\frac{2}{18}=\frac19,\qquad t_2=\frac{-18}{18}=-1 \]
Так как \(t=x^2\ge0\), корень \(t=-1\) не подходит: уравнение \(x^2=-1\) не имеет действительных решений.
Остаётся:
\[ x^2=\frac19 \]
\[ x=\pm\frac13 \]
Проверка:
При \(x^2=\frac19\):
\[ 9\cdot\frac1{81}+8\cdot\frac19-1 =\frac19+\frac89-1=0 \]
Всё верно.
2) \((x+2)^2+5(x+2)+4=0\)
Здесь повторяется выражение \(x+2\). Обозначим:
\[ t=x+2 \]
Тогда:
\[ t^2+5t+4=0 \]
По теореме Виета:
\[ t_1=-1,\qquad t_2=-4 \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ x+2=-1 \Rightarrow x=-3 \]
\[ x+2=-4 \Rightarrow x=-6 \]
Можно проверить и раскрытием скобок:
\[ (x+2)^2+5(x+2)+4=x^2+9x+18=(x+3)(x+6) \]
Корни действительно \(-3\) и \(-6\).
3) \((x^2+2x-6)(x^2+2x-5)=6\)
Общий повторяющийся блок — \(x^2+2x\). Пусть:
\[ t=x^2+2x \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ (t-6)(t-5)=6 \]
Раскрываем скобки:
\[ t^2-11t+30=6 \]
\[ t^2-11t+24=0 \]
\[ (t-3)(t-8)=0 \]
Значит:
\[ t=3 \quad\text{или}\quad t=8 \]
Возвращаемся к \(x\).
Если \(t=3\):
\[ x^2+2x=3 \]
\[ x^2+2x-3=0 \]
\[ (x+3)(x-1)=0 \]
\[ x=-3;\quad x=1 \]
Если \(t=8\):
\[ x^2+2x=8 \]
\[ x^2+2x-8=0 \]
\[ (x+4)(x-2)=0 \]
\[ x=-4;\quad x=2 \]
Проверка по \(t\):
при \(t=3\):
\[ (3-6)(3-5)=(-3)(-2)=6 \]при \(t=8\):
\[ (8-6)(8-5)=2\cdot3=6 \]
Всё сходится.
Главный принцип: если в уравнении несколько раз встречается одно и то же выражение, его удобно обозначить новой переменной. После решения обязательно вернись к старой переменной \(x\). Если замена — это \(x^2\), помни, что \(x^2\ge0\).
